3-SUM'un çarpımsal sürümü

3-MUL olarak adlandırdığımız aşağıdaki sorunun zaman karmaşıklığı hakkında bilinenler nelerdir?

Verilen bir dizi $S$ ve $n$ tamsayılardır, orada elemanları $a,b,c\in S$ şekilde $ab=c$ ?

Bu problem 3-SUM problemine benzer, $a,b,c\in S$ şeklinde $a+b+c=0$ (veya eşdeğerde $a+b=c$ ) olup olmadığını sorar . 3-SUM, cinsinden kabaca ikinci dereceden bir zaman gerektirecek şekilde hesaplanmıştır $n$. 3-MUL için benzer bir varsayım var mı? Spesifik olarak 3-MUL'un 3-SUM zor olduğu bilinmektedir?

Not, zaman karmaşıklığının “makul” bir hesaplama modelinde uygulanması gerekir. Örneğin, bir dizi 3-toplamından azaltabilecek $S$ set 3-MUL için $S'$ , burada $S'=\{2^x\mid x\in S\}$ . Daha sonra, 3-MUL, bir çözelti, $2^a\cdot 2^b=2^c$ , ancak ve ancak mevcut $a+b=c$ . Bununla birlikte, sayıların bu üssel patlaması, örneğin RAM modeli gibi, çeşitli modellerde çok kötü ölçeklenmektedir.

Elde ettiğiniz azalma $3$ için SUM $3$ MUL küçük standart modifikasyonu ile çalışır. Orijinal tamsayılarınızın { $1,\ldots,M$ } olduğunu varsayalım . dönüşümünden sonra $x\rightarrow 2^x$yeni tamsayılar { $2,\ldots,2^M$ } değerindedir. Aralığı azaltacağız.

Yeni S ′ setindeki tam sayılarının üçlü değerini göz önünde bulundurun . Asal bir Sıfır dışındaki bölenler sayısı bir B - c bir < 2 M . Bu tür üçe sayısıdır , n 3 . Bu nedenle asal sayısı q olan bölme en az bir , bir b - c sıfır olmayan numaraları En olan 2 M n- 3 .$a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

Let ilk kümesi 2 M ⋅ n 4 asal. Büyük gibi asal en boyutta olan O ( M n 4 günlük M n ) . Rastgele asal Seçim s ∈ P . Yüksek bir olasılık ile, p Sıfır dışındaki herhangi bir bölmek olmayacak bir B - c biz temsil böylece, her bir ∈ S ' de tortu, mod ile p ve eğer 3 MUL bazı bulan bir b = c olarak $P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$ , Yüksek olasılıkla orijinal için doğru olur 3 SUM örneği. Biz sayı aralığı azaltmıştır { 0 , ... , O ( M n 4 günlük M n ) }.$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(Bu standart bir boyut küçültme olduğunu Sen gerçeğini dikkate alarak daha iyi yapmak mümkün olabilir. daima iki güçlerin farklar 2 ).$ab-c$$2$

Eğer redüksiyon denediniz nerede ? Sonuçlar gerçek sayılardır, bu nedenle bazı rakamlara yuvarlamanız gerekir. Yuvarlamalara rağmen sayıların doğru şekilde eklendiğinden emin olmak için biraz rastgele gürültü eklemeniz gerekebilir.K = maks S - dk $S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$