sabit derinlik karakterizasyonu ?

40

Bu devre karmaşıklığı ile ilgili bir soru. (Tanımlar altta.)

Yao ve Beigel-Tarui her gösterdi büyüklüğü devre ailesinin boyutta bir eşdeğer devre ailesi vardır derinlik , iki çıkış kapısı simetrik bir fonksiyonudur ve ikinci seviye oluşur, arasında kapıları $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$ Fan-in. Bu, bir devre ailesinin oldukça dikkat çekici bir "derinlik çöküşü" dür: 100 derinlikteki bir devreden derinlik 2'ye düşebilir, sadece yarı-polinom patlaması (ve üstte bir fantezi ancak yine de sınırlı bir kapı bulunur).

Sorum şu: Benzer şekilde bir devre ailesini ifade etmenin bilinen bir yolu var mı? Daha iddialı bir şekilde, bir devre ailesi ne olacak ? Potansiyel yanıt forma sahip olacaktır: "Her boyutu devre boyutu olan bir derinlik iki ailesi tarafından kabul edilebilir çıkış kapısı tipi bir fonksiyonudur, ve kapılarının ikinci seviye tip " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

O değil sahip derinliği-iki olmak, sabit derinlik sonucu herhangi bir çeşit ilginç olurdu. Her devresinin, sadece simetrik fonksiyon kapılarından oluşan bir devre ile derinlemesine 3 temsil edilebileceğini kanıtlamak çok ilginç olurdu. $TC^0$

Bazı küçük gözlemler:

Eğer cevap için önemsiz olan herhangi Boole fonksiyonu (biz bir şekilde herhangi bir işlev ifade edebilir arasında ler). Somutluk için, 'e gereksinim . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
Cevap ya da hesaplanan keyfi bir işlev olmasına izin verilirse de önemsizdir . Bunu tanımlamak biraz kaygan çünkü hesaplanamayan simetrik fonksiyon aileleri var. (Sıkıştırılamayan tek diller vardır.) İsterseniz, ve ifadedeki simetrik işlevlerle değiştirebilirsiniz , ancak diğer tüm kapı seçenekleri ile ilgilenirim. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Şimdi gösterimdeki bazı kısa hatırlamalar için:

$ACC^0$ ile sınırlandırılmamış sabit derinlemesine yelpaze devrelerin bir ailesi tarafından tanınan sınıftır , ve sabit için kapıları devre büyüklüğü bağımsız. Bir geçidi , girişlerin toplamı ile bölünebilirse döndürür . $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ , sınırlandırılmamış fan kapılarına sahip sabit derinlikli devrelerle tanınan sınıftır . $MAJORITY$

$NC^1$ , sınırlı fan girişinin , , kapılı logaritmik derinlik devreleri tarafından tanınan sınıftır . $AND$ $OR$ $NOT$

$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Ryan Williams
kaynak

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

Ryan, burada ne tür bir cevap aradığını anlamıyorum. O zaman gerçekten simetrik kapılardan bahsediyorsanız (bunlar ikinci derinlikteki çoğunluğa göre simüle edilebildiğinden), sorunuz TC0'in sabit derinliğe çökmesine eşdeğerdir (belki de boyutta hafif süper polinom artışı) - iyi bilinen açık problem. Simetriyi "rahatlatmak" istiyorsan, Barrington'ın sonucu umduğun kadar iyi görünüyor mu?

— Noam

3

@Hayır: Başka ilginç cevap olup olmadığını görmek istiyorum; yoksa, 300'ü Lance'e vereceğim. Aynı zamanda orta olasılıklar da vardır, örneğin çıktıda simetrik bir işlevi olan ancak diğer iki tabaka üzerinde mutlaka simetrik olmayan derinlik üç devre. Neyse, 5 dakikalığına düşünmene, 300 lütuf bile.

— Ryan Williams

5

Ve şimdi (8

— Kasım'dan

16

$TC^0$ $AC^0$ $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

Boaz'ın cevabında işaret ettiği gibi, aritmetik devreler için önemsiz bir derinlik azalması olduğu göz önüne alındığında, bu araştırılması gereken bir şey olabilir.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
kaynak

18

$NC^1$

— Lance Fortnow
kaynak

Barrington'ın teoreminin burada ilginç bir şey ima ettiğini kabul ediyorum. Ancak bu çıkış kapısı çok "simetrik olmayan" bir fonksiyondur :)

— Ryan Williams

3

Aslında, bir derinlik 1 devre alıyorsunuz gibi görünüyor ... 5x5 Boole matrisi olarak (bir) permütasyonu temsil etmek, sadece permütasyon-çarpma kapısına projeksiyonlar.

— Noam

11

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— Boaz Barak
kaynak

2

T C^{0}

$TC^0$

1

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

Kristoffer, bağlantınızı ayrı bir cevap olarak ekleyebilir misiniz? Teşekkürler!

— Ryan Williams

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$