Rasgele dönüş sırası ile hex karmaşıklığı.

Bir altıgen varyantını düşünüyorum , iki oyuncunun sırayla hamle yapmak yerine, rastgele seçilen bir oyuncunun her turu bir hamle yapıyor. Her oyuncunun kazanma şansını belirlemek ne kadar zor? Bu sorun açıkça PSPACE'de, ancak NP-sert, daha az PSPACE-tam olamaz. Zorluklar, rastgeleliğin bir oyuncunun seçenekler arasında seçim yapmaya zorlanmasını nasıl imkansız kıldığından kaynaklanmaktadır; eğer bu oyuncu şanslıysa iki hamle alırsa iki seçeneği de alır ve oyuncu şanssızsa rakip her iki seçeneği de engelleyecek yeterli hamle alır. Öte yandan, bunun için herhangi bir polinom-zaman algoritması düşünemiyorum.

cc.complexity-theory board-games

— Itai Bar-Natan
kaynak

S, hangi oyuncunun sırayı aldığını temsil eden n-bit ikili dize olsun. En kötü durumda, rastgele sıra 010101 ... veya 101010 ise standart hex oyunu kurtarırsınız. Yani, probleminiz en az standart hex kadar zor.

— Mohammad Al-Turkistany

Bu oyunun iki olası yorumu vardır. (1) Her turdan hemen önce, oyuncular bir sonraki kimin olacağını belirlemek için bozuk para çevirir. (2) Oyunun başında, oyuncular yazı tura

(a boyutuna kez

kurulu) ve sıralarının gelmesini bu sırayı kullanın. Türkistan'ın model olduğu görülmektedir (2); orijinal soru belirsizdir, ancak bazı ifadelerinden Itai'nin standart altıgenden daha kolay olabilecek (1) hakkında soru sorduğunu tahmin ediyorum.

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— Peter Shor

Gerçekten, ilk yorum, kasanın taşınmadan hemen önce çevrildiği anlamına gelir. Ayrıca sorumun başka bir belirsizliğini de fark ettim: olasılığı bilmek istediğim hassasiyet. Soruyu sorarken bıraktığım izlenim, olasılığı tam hassasiyette bilmek istemem, ancak sadece logaritmik hassasiyette olasılığı bilmek istiyorum. PP ve BPP arasındaki fark gibi, daha sonra daha kullanışlı ve doğal görünüyor.

— Itai Bar-Natan

@Itai: Başka bir soru. Neden bunun açıkça PSPACE'de olduğunu iddia ediyorsunuz? Bana öyle geliyor ki hakemli bir oyun, bu da doğal karmaşıklık-teorik üst sınırının EXPTIME olduğu anlamına geliyor. Bkz. Feige ve Kilian, "Oyunları Kısaltmak".

— Peter Shor

@tukistany Yararsız önemsiz anlamına gelmez!

— Jeffε

Yuval Peres, Oded Schramm, Scott Sheffield ve David Wilson'ın "Random-Turn Hex ve Diğer Seçim Oyunları" adlı makalesine bakmak isteyebilirsiniz. Girişten:

"Rastgele Dönüş Hex, sıradan Hex ile aynıdır, ancak sıralı Hex yerine oyuncular, bir sonraki taşı kimin alacağına karar vermek için her turdan önce bir bozuk para atarlar. -Turn Hex çok basit çıkıyor. "

Gerçekten de, sezginiz haklıydı: bu BPP (veya belki P) olacak.

— Peter Shor
kaynak

Ben sadece insanlar aslında bu konuda çalıştı şaşırdım :) Güzel referans!

— Suresh Venkat

Bu da gerçekten güzel bir kanıt. Sanırım Scott Sheffield'in görüşmelerinden birinde bahsettiğini duydum (ama daha sonra Google'da ortaya çıkana kadar tamamen unuttum).

— Peter Shor

Ayrıca, David Wilson'ın web sitesinde aslında rastgele dönüş Hex'i

— Andy Drucker

PSSW'nin makalesinden esinlenen İsrail'e yaptığı son ziyaretinde Oded Schramm ve ben, özellikle ilginç bir oyun olmadığını anlamak için birkaç tur rastgele dönüş satranç oynadık.

— Gil Kalai

Rastgele dönüş oyunları ve teklif oyunları arasında , oyuncuların bir sonraki hamle için teklif verdiği önemli bir bağlantı (David Richman nedeniyle) olduğu ortaya çıkıyor; bkz. arxiv.org/pdf/0812.3677.pdf ve users.math.yale.edu/~sp547/pdf/Discrete-bidding-games.pdf Bu bağlantı Peres ve ark. Bunu seviyorum, çünkü teklif oyunları en azından görünüşte şanssızdır ve Hex teklifini rastgele dönüş Hex'den daha oynamak için daha tatmin edici olacağını düşünüyorum. (Bununla birlikte, her turda teklif vermek çılgınca talepkar bir görev olabilir.)

— Andy Drucker