Rastgele kısıtlamalar ve Boole işlevlerinin toplam etkisine bağlantı

Diyelim ki bir Boolean fonksiyonumuz var ve üzerine -random kısıtlaması uyguluyoruz . Ek olarak, hesaplayan karar ağacının ( rastgele kısıtlamanın bir sonucu olarak boyutuna küçüldüğünü varsayalım . Bu, çok düşük bir toplam etkiye sahip olduğu anlamına mı geliyor ?$f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$$\delta$$f$$T$$f$$O(1)$$f$

İddia: Eğer ait -rasgele kısıtlama boyutu karar ağacı sahip (beklentisi içinde), daha sonra bu toplam etkisi olduğu .$\delta$$f$$O(1)$$f$$O(\delta^{-1})$

İspat taslağı: Etki tanımına göre . Bize üst sınırı olsun bir uygulama, ilk olarak sonra çekme -restriction kalan koordinatları arasında ve en sabitleme hariç rastgele her şey .$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

Şimdi, -restriction, karar ağacını boyutuna küçültürse, özellikle f'nin kısıtlaması, koordine edilen bağlıdır . Şimdi bir rastgele sabitlenmemiş koordinat seçelim ( arasında ) ve diğerlerini rastgele düzeltelim. Yana ait -restriction en bağlıdır koordinatları, en fazla olasılık ile sabit değildir (bir bit) bir fonksiyon elde . Bu nedenle .$\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Not: Yukarıdaki iddia, bitlerinde eşlik fonksiyonu alınarak sıkıdır .$O(1/\delta)$