Önemsiz tek tip devreler var mı?

zamanında çalışan bir algoritma göz önüne alındığında , aynı boyut problemi için en fazla bir "önemsiz" düzgün devre ailesine dönüştürebiliriz .$t(n)$$\approx t(n)\log t(n)$

Öte yandan, en uygun çalışma süresi olsa bile, bu sorun için çok daha küçük düzgün devrelerimiz olabilir . Devrelerin oluşturulması den daha uzun sürebilir , ancak küçüktürler.$t(n)$$t(n)$

Ama aslında böyle şeyleri nasıl inşa edeceğimizi biliyor muyuz? Bence sorulması gereken ilk soru

(1) Önemsiz tekdüze devrelerin yapıcı örnekleri var mı, yani boyutu aynı problem için herhangi bir algoritmanın en iyi bilinen çalışma süresinden daha küçük olan tekdüze devreler var mı?

Şimdi, eğer bir problem , kapsamlı bir arama kullanarak en uygun devreleri bulmak için üstel zaman algoritmasına sahibiz : verildiğinde , cevapları girişler (alma süresi ); daha sonra tüm doğru cevapları veren bir tane bulunana kadar girişlerindeki tüm devreleri artan boyutta sıralarız. Arama önemsiz dönüşüm boyutunda, veya fonksiyonun doğruluk tablosunda, çıkışlar ise sonlanır . (Düzenleme: Thomas , Shannon / Lupanov nedeniyle sınırın olduğuna dikkat çekiyor.)$\mathsf{DTIME(t(n))}$$n$$2^n$$(2^n)t(n)$$n$$t(n) \log t(n)$$2^n$$\{0,1\}$$O(2^n/n)$

Bu yüzden (1) sorusuna tatmin edici olmayan bir "evet" var: üzerinde herhangi bir zaman için zor , ama yine de karar verilebilir bir dil alın ; yukarıdaki prosedür boyutunda bir doğruluk tablosu .$2^n$$2^n$

Bu yüzden (1) sorusunu düzeltmeliyiz. Bence en ilginç iki durum

(2) Polinom büyüklüğünde önemsiz üniform devrelerin yapıcı örnekleri var mı? (Çok yavaş algoritmalar tarafından oluşturulsalar bile.)

(3) Polinom-zaman üretilebilir , polinom-boyutu önemsiz tekdüze devrelerin yapıcı örnekleri var mı?

Bu sormak için çok fazla olabilir. Daha kolay bir soruya ne dersiniz: Böyle bir şeyin mümkün olduğunu bile biliyor muyuz? Belki de önemsiz tek tip devreler yoktur?

(4) Aşağıdaki ifadenin için yanlış olduğu biliniyor mu? (Düzenleme: , teşekkürler Thomas.) "Eğer bir dili büyüklüğünde tek biçimli devrelere sahipse , . " (Öyleyse, "üniforma" yerine "polinom-zaman-üniforma", "günlük alanı üniforması" vb. Verildiğinde ne olur?)$s(n) = o(2^n)$$o(2^n/n)$$L$$O(s(n))$$\tilde{O}(s(n))$

Son olarak, yukarıdaki sorular çok zorsa,

(5) Sadece algoritmaların devrelere dönüşümü olmayan (veya doğruluk tablosunu yazan) tek tip devreler yapımız var mı?

Postscript. Bu konuda bahsettiğim bir uzman "Orta-Düzgünlük ve Devre Alt Sınırlarında" ( pdf ), Santhanam ve Williams 2013, belki de en yakından ilişkili olan iştir, ancak daha düşük sınırları kanıtlar (poli-zaman üretilebilir devreler değildir) çok güçlü). İlgili diğer çalışmalarla ilgilenirim!

İşte son iki sorunuzun yanıtları.

(5) Sıralama ağları, en iyi RAM algoritmaları kadar hızlı sıralanan tek tip devrelerdir, ancak kesinlikle sadece RAM algoritmalarının dönüşümleri değildir (örn. Hızlı sıralama). [ AKS83 , G14 ]

(4) Evet, herhangi bir ile , ancak aptalca bir nedenle: Her işlev bir boyut devresiyle hesaplanır. . ( Shannon bunu bir sabite kadar kanıtladı ve Lupanov optimal sabiti elde etti.) Zaman hiyerarşisi teoreminde, ve arasında eşit zaman karmaşıklığına sahip bir işlevi vardır . Bu karşı örnek verir: boyutu devrelere sahiptir (ki burada düşünmek de hesaplanabilir olan zaman), fakat hesaplanabilir değil$s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$$\varepsilon>0$$(1+o(1)) \cdot 2^n/n$$f$$\Omega(3^n)$$O(n \cdot 3^n)$$f$$O(2^n/n)$$2^{\mathrm{poly}(n)}$$\tilde{O}(2^n/n)$ süresi. Muhtemelen istemelisiniz .$s(n) = o(2^n/n)$

Bu ilginç bir soru; Umarım birisi cevap verebilir (1) - (3).