Lamda-kalkülüs yoluyla P ve NP sınıflarının açıklanması

Giriş ve açıklamalarda P ve NP karmaşıklık sınıfları genellikle Turing makinesi aracılığıyla verilir. Hesaplama modellerinden biri lambda hesabıdır. Tüm hesaplama modellerinin eşdeğer olduğunu anlıyorum (ve Turing makinesi ile ilgili herhangi bir şey tanıtabilirsek, bunu herhangi bir hesaplama modeli olarak tanıtabiliriz), ancak lambda-calculus aracılığıyla açıklama fikri P ve NP karmaşıklık sınıflarını hiç görmedim . Turing makinesi olmadan ve sadece hesaplama modeli olarak lambda hesabıyla P ve NP karmaşıklık sınıfları hakkında bir şeyler anlatabilir mi?

— Simpleks
kaynak

Hesaplama gücü, yalnızca doğal sayılar üzerindeki işlevler için eşittir, daha yüksek türler veya diğer ayarlar için değildir.

— Kaveh

Bütünlüğü tamamlamak bazen bir bağlantı göstermek için daha teorik bir konsepttir, ancak TM komple sistemler arasında daha fazla uygulanan "dönüşümler" aslında pratikte her zaman gerçekleştirilmez, yani bazen varoluş kanıtları hakkında daha fazla ...

— vzn

Yanıtlar:

Turing-makineleri ve $\lambda$ calculus sadece tanımlayabilecekleri $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ işlevleriyle eşdeğerdir .

Hesaplamalı karmaşıklık bakış açısından farklı davranıyorlar gibi görünüyor. Temel nedeni insanların değil makineleri Turing kullanın $\lambda$ karmaşıklığı hakkında nedenle -calculus kullanarak olmasıdır $\lambda$ , gerçekçi olmayan karmaşıklık önlemlere -calculus safça yol açıyor özgürce tek yer (rasgele boyutu) terimlerini kopyalayabilir çünkü $\beta$ , mesela Düşürülmesi adımlar $(\lambda x.xxx)M \rightarrow MMM.$ Başka bir deyişle, tekli azaltma adımları $\lambda$ -calculus berbat bir maliyet modelidir. Buna karşılık, tek bir Turing-makine azaltma adımı harika çalışıyor (gerçek dünyadaki programın çalışma zamanının iyi öngörücüleri olma anlamında).

Geleneksel Turing makinesi tabanlı karmaşıklık teorisi kurtarmak için nasıl tam olarak bilinmemektedir $\lambda$ -calculus. Son bir (2014) buluşta Accattoli ve Dal Lago , $P$ , $NP$ ve $EXP$ gibi büyük zaman-karmaşıklık sınıflarına doğal $\lambda$ calculus formülasyonu verilebileceğini göstermeyi başardı. Fakat $O(n^2)$ veya gibi daha küçük sınıflar $O(n \, log\, n)$ Accattoli / Dal Lago teknikleri kullanılarak sunulamaz.

$\lambda$ calculus kullanarak geleneksel uzay karmaşıklığının nasıl kurtarılacağı bilinmemektedir.

— Martin Berger
kaynak

Burada açıklığa kavuşturma gereği duyuyorum: Accattoli ve Dal Lago'nın zaman derslerini "sunmak" için kullandıkları özel bir "teknik" yok. Tanımlar: sunması "naif" bir

dil sınıfı olarak bir yan Karar verilebilen

uzun dönem içinde

(herhangi bir standart azaltma stratejisi altında Düşürülmesi adımda , örneğin en soldaki -outermost). Accattoli ve Dal Lago, lineer mantıktan gelen teknikleri kullanarak ,

gibi bir polinom

olduğunu göstermiştir

λ T I M E (f (n))

$\lambda TIME(f(n))$

λ

$\lambda$

f (n)

$f(n)$

β

$\beta$

p

$p$

λ T I M E (f (n)) = T I M E (p (f (n))

$\lambda TIME(f(n))=TIME(p(f(n))$

— Damiano Mazza

@DamianoMazza Evet, doğru, demek istediğim bu sonucu göstermek için kullanılan tekniklerin örneğin

göstermek için kullanılabileceğini

λ T I M E (n^{2}) = T I M E (n^{2})

$\lambda TIME(n^2) = TIME(n^2)$

— Martin Berger

Tamam anladım. Aslında, içimdeki yani

gibi karmaşıklık sınıfları:

ya da

sağlam değildir , hesap modelinde yapılan değişiklikler altında kararlı olmaları beklenemez (Turing makinelerine yapışsak bile, örneğin tek bantlı veya çoklu bant gibi).

λ T I M E (n^{2}) \neq T I M E (n^{2})

$\lambda TIME(n^2)\neq TIME(n^2)$

T I M E (n^{2})

$TIME(n^2)$

T I M E (n \log n)

$TIME(n\log n)$

— Damiano Mazza

@DamianoMazza Aynı şekilde seçilen alfabenin büyüklüğü için de aynı fikirdeyim. Ancak çalışan bir algoritma

, bir de

-tape makinede simüle edilebilir

, 1-bant makinesi, mütevazı bir kuadratik blowup ile. Accattoli ve Dal Lago's'ın şu anki çevirisinin patlaması nedir? Açıkça söyleyip söylemediklerini hatırlamıyorum.

f (n)

$f(n)$

n

$n$

5 k f^{2} (n)

$5kf^2(n)$

— Martin Berger

@Jake Alıntılanan kağıt beta-normalizasyonu tartışıyor (bkz. Sayfa 2). Zayıf azaltma (yani, çağrı sırasına göre ) gibi diğer azaltma biçimleri için benzer sonuçlar zaten biliniyordu. ).

— Blaisorblade

Başka bir soru için yazdığım cevabın bir kısmını yapıyorum :

Örtülü Hesaplamalı Karmaşıklık, karmaşıklık sınıflarını özel dillerle karakterize etmeyi amaçlar. Bellantoni-Cook Teoremi gibi ilk sonuçlar özyinelemeli işlevler açısından ifade edildi , ancak daha yeni sonuçlar calculus'un kelime ve tekniklerini kullanıyor. Daha fazlası ve göstericiler veya DICE çalıştaylarının işlemleri için Örtülü Hesaplamalı Karmaşıklığa bu kısa girişe bakınız . $\mu$ $\lambda$

calculus vasıtasıyla (en azından) karakterizasyonları vardır . $\mathsf{FP}$ $\lambda$

— Bruno
kaynak

$\mathbb{P}$ $\mathbb{NP}$

Hesaplamalı karmaşıklık sınıflarının algoritmik (Kolmogorov-Solomonov) karmaşıklığı açısından bazı başka karakteristikleri burada ve burada bulunabilir .

— Nikos M.
kaynak