Bilinen genel Bonferroni tarzı sınırlar var mı?

Olasılık teorisinde klasik bir problem, bir olayın olasılığını daha spesifik olaylar açısından ifade etmektir. En basit durumda, diyebiliriz $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ . olayı için yazalım . $AB$ $A \cap B$

$P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup {bir}_{ben}] \leq Σ P [{bir}_{ben}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup {bir}_{ben}] \leq \underset{ben}{Σ} P [{bir}_{ben}] - \underset{j}{maksimum} \underset{ben \neq j}{Σ} P [{bir}_{ben} {bir}_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

Olayların bağımlılık yapısı, köşelerine sahip ağırlıklı bir köprü olarak düşünülebilir; $A_i$ kenarın ağırlığı, kenardaki köşelerin kesişimi ile ilişkili olayın olasılığını temsil eder.

İçerme-hariç tutma stili argümanı, olayların daha büyük ve daha büyük alt kümelerini birlikte ele alır. Bunlar Bonferroni sınırlarını verir . Bu sınırlar, boyutuna kadar olan kenarlar için tüm ağırlıkları kullanır $k$ .

Bağımlılık yapısı "yeterince güzel" ise, olasılıkları 0 ve 1 gibi aşırı değerlerden uzaklaştırmak için Lovász Yerel Lemması kullanılabilir. Bonferroni yaklaşımının aksine, LLL bağımlılık yapısı hakkında oldukça kaba bilgiler kullanır.

Şimdi bağımlılık yapısındaki nispeten az ağırlıkların sıfır olmadığını varsayalım. Ayrıca, çift olarak bağımsız olan ancak bağımsız olmayan birçok olay olduğunu varsayalım (ve daha genel olarak, bir dizi $k$ olayının karşılıklı olarak bağımsız olmadığı, ancak her bir için $r$ yönlü bağımsız olduğu oldukça olasıdır ). $r < k$

Bonferroni / Kounias sınırlarını iyileştirmek için olayların bağımlılık yapısını etkin bir şekilde hesaplanabilecek şekilde açıkça kullanmak mümkün müdür?

Cevabın evet olduğunu ve referanslara işaret etmeyi takdir edeceğini umuyorum. Hunter'ın 1976'daki gazetesinin farkındayım, ama sadece çift bağımlılıklarla ilgileniyor. Hunter, 3 veya daha büyük boyuttaki bağımlılık yapısındaki kenarları göz ardı ederek oluşan grafikteki yayılmış ağaçları dikkate alır.

David Hunter, Bir Birliğin Olasılığı için Üst Sınır , Uygulamalı Olasılık Dergisi 13 597-603. http://www.jstor.org/stable/3212481

reference-request pr.probability

— András Salamon
kaynak

Cevabı Linial ve Nisan'ın "Yaklaşık İçerme-Dışlama" makalesinde bulacağınızı düşünüyorum: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aryeh
kaynak

Bu son derece alakalı görünüyor (resmi bağlantı link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); Bir takip de var link.springer.com/article/10.1007/BF01271266 Jeff Kahn, Nathan Linial ve Alex Samorodnitsky tarafından.

— András Salamon