Küçük hariç tutulan grafikler için kolay olan nedir?

Jung / Shah algoritmasını kullanarak, az sayıdaki dışlanmış grafiklerde yaklaşık renklendirme sayısının kolay olduğu görülüyor . Genel grafiklerde zor olan, ancak küçük dışlanan grafiklerde kolay olan diğer sorun örnekleri nelerdir?

Güncelleme 10/24 Grohe'nin sonuçlarına göre, sınırsız dişli grafiklerinde test etmek için FPT olan formül, küçük dışlanmış grafiklerde test etmek için FPT'dir. Şimdi soru şu - bu tür bir formülün tatmin edici ödevlerini saymanın izlenebilirliği ile nasıl ilgilidir?

Yukarıdaki ifade yanlıştır. MSOL, sınırlandırılmış ağaç genişlikli grafiklerde FPT'dir, ancak 3 renklendirilebilirlik, kük hariç tutulan düzlemsel grafiklerde NP tamamlanır.

Bilinen en genel sonuç Grohe'dir. Temmuz 2010'da bir özet sunuldu:

• Martin Grohe, Dışlanmış Küçüklerle Grafiklerde Sabit Nokta Tanımlanabilirliği ve Polinom Zamanı , LICS 2010. ( PDF )

Kısacası, sayma ile sabit nokta mantığında ifade edilebilecek herhangi bir ifadede, en az bir dışlanmış küçük ile grafik sınıfları üzerinde bir polinom-zaman algoritması vardır. (FP + C, sabit nokta operatörü ve tanımlanabilir köşe gruplarının kardinalliğini veren bir tahmin ile güçlendirilmiş birinci mertebeden bir mantıktır). Temel fikir, küçüklerin hariç tutulması, sınıftaki grafiklerin sabit nokta mantığında tanımlanabilen treel ayrıştırmalarını sipariş etmesine izin vermesidir (saymadan).

Bu nedenle, sorunuza FP + C'de tanımlanabilir ancak sayılması zor olan özellikler göz önünde bulundurularak çok geniş bir cevap sınıfı elde edilebilir.

Düzenleme: Bunun aslında sorunuzu yanıtladığından emin değilim, güncellemeniz için daha da az. Grohe'nin sonucunun göstergesi ve ifadesi doğrudur, ancak çıkarılan metnin sorunuzla ilgili olduğunu sanmıyorum. (Bunu işaret ettiği için Stephan Kreutzer'a teşekkürler.) Bu açıklığa kavuşturmaya değer olabilir: genel olarak zor fakat küçük dışlanmış sınıflarda kolay olan bir sayma problemi mi yoksa bir karar sorunu mu?

Küçük-kapalı grafik ailelerin ilginç bir özelliği, yozlaşmayı sınırlandırmış olmalarıdır . Bu, sınırlı dejenerasyon grafikleri üzerinde kolay olan tüm problemlerin, küçük kapalı bir aileden gelen grafiklerde kolay olduğu anlamına gelir.

Örneğin, bir grafiğin k boyutunda bir klik içerip içermediğini bulmak genellikle zor bir sorundur ve en iyi algoritmalar . Bununla birlikte, yozlaşmanın bir sabit olduğunu biliyorsak, o zaman k-keki lineer zamanda, yani O (n) zamanda bulunabilir. Vikipedi'nin clique sorunu hakkındaki makalesi de bu konuda bazı bilgiler vermektedir. (Hassas işletim süresi gibi bir şeydir , O ( k d ( G ) k , n ) ). Bu algoritma tarafından Chiba ve Nishizeki .$O(n^k)$$O(k d(G)^k n)$

Bu cevabın diğer örnekleri MathOverflow'ta David Eppstein tarafından sınırlı dejenere grafikler hakkında benzer bir soruya bulunabilir.

Ek olarak, küçük dışlanmış grafiklerdeki algoritmalar için başka bir yararlı özellik bu grafiklerin küçük ayırıcılara sahip olmasıdır . Daha doğrusu, çünkü

Küçük , Bruce Reed ve David R. Wood, Algoritmalar Üzerine ACM İşlemleri, 2009, bir küçük hariç grafikte bir ayırıcı bulmak için doğrusal bir zaman algoritması ,

$O(n^{2/3})$$O(n^{3/2} + m)$$O(n^{1/2})$

Separatörlerin dinamik programlama teknikleri için iyidir ve birçok NP-tamamlanmış problemin iyi bir yaklaşım oranına sahip hızlı algoritmalara sahip olduğu gösterilmiştir; Düzlemsel grafikler ve genel olarak sınırlı cins grafikler, küçük dışlanmış grafiklerdeki sorunları çözmeye çalışırken iyi bir başlangıç ​​noktasıdır.

$O(1)$

Algoritmik Çizge Küçük Teorisi: Ayrıştırma, Yaklaşım ve Demaine, Hajiaghayi ve Kawarabayashi ile Renklendirme

Bu makale, belirli bir (açıklanması biraz karmaşık) algoritma versiyonunu verir ve Robertson & Seymour teoremi tarafından garanti edilen dışlanmış-küçük grafikler için ayrıştırma yapar ve bu, bu iyileştirilmiş yaklaşım sonuçlarının bir kısmını verir. Ayrıca buradaki referansları da inceleyin.

$K_5$$K_{3,3}$

$H$$H$

$K_t$$(t-1)$$K_t$$(t-1)$$t− 2$