Savitch teoreminde daha düşük sınırlar

Her şeyden önce, herhangi bir aptallık için şimdiden özür dilerim. Hiçbir şekilde karmaşıklık teorisi konusunda uzman değilim (ondan uzak! Karmaşıklık teorisinde birinci sınıfımı alan bir lisans öğrenciyim) İşte benim sorum. Şimdi Savitch Teoremi Şimdi bu alt sınırın sıkı olup olmadığını merak ediyorum, yani bu ulaşılamaz. NSPACE ( f ( n ) ) ⊆ DSPACE ( ( f ( n ) ) 1.9

Belirleyici bir Turing makinesinin konfigürasyon grafiğindeki her bir düğümün yalnızca bir çıkış kenarı varken, Deterministic Turing makinesinin konfigürasyon grafiğindeki her bir düğümün daha fazla olabilirken, burada yapılacak basit bir kombinatoryal argüman olması gereken bir şey gibi görünüyor. bir giden kenardan daha. Savitch'in algoritması, herhangi bir sayıdaki çıkış kenarı içeren konfigürasyon grafiklerini giden kenarlı konfigürasyon grafiklerine dönüştürmektir .$<2$

Konfigürasyon grafiği benzersiz bir TM tanımladığından (bundan emin değil), ikincisinin birleşik boyutu neredeyse kesinlikle eskisinden daha büyüktür. Bu "fark" belki de faktörüdür , belki daha az - bilmiyorum. Elbette, çözülecek pek çok teknik sorun var, ne gibi döngüler olmadığından emin olmanız gerektiği gibi, ama sorum, bunun böyle bir şeyi kanıtlamaya başlamanın makul bir yoluysa. $n^2$

Bu iyi bilinen bir açık sorudur. Karmaşıklık teorisinde, kimsenin bunları nasıl çözmeyi başardığını merak edeceğiniz birçok açık soru göreceksiniz. Sebeplerin bir kısmı, onları çözmemize yardımcı olmak için sizin gibi yeni insanlara ihtiyacımız var :)

Bu alandaki son sonuç için, bazı sınırlı modellerde Savitch algoritmasının en uygun olduğunu gösteren, bkz. Aaron Potechin'in FOCS makalesi .

Özellikle, deterministik bir TM'nin konfigürasyon grafiğinin yalnızca bir çıkış kenarı (girişi düzelttikten sonra) olduğu için, kişinin bunu yönlendirilmemiş bir grafik olarak düşünebileceği ve soru şu gibi bir şey haline geldiği için güzel gözlemle başlar: yönlendirilmiş bir grafiktir arasında , n iki özel köşeler ile köşe s , t , biz eşlemek halinde n tepe yönsüz grafiktir G ' (aynı zamanda özel köşeler s ' , t ' ), öyle ki her bir kenarının varlığı G ' bağlıdır G'de bir kenar var ve s'den bir yol var.$G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$$G'$$G$$s$için olarak G arasında bir yol vardır IFF s ' ve T ' de G ' ne kadar daha büyük, N alınması zorunludur n .$t$$G$$s'$$t'$$G'$$N$$n$

Savitch'in algoritmasının optimal olduğunu göstermek için, en az 2 Ω ( log 2 n ) = n Ω ( log n ) olması gerektiğini göstermesi gerekir . Göstermek için L ≠ K L , bu zayıf bağlı göstermek için yeterli olduğunu , N > N c her sabiti c . Ben çok emin bile değilim N > n 10 , bilinmemektedir gibi olsa belki bir şey N ≥ n 2 bazı çok ilginç değil nedenlerle bilinir.$N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$$L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

Bence bunun sıkı olup olmadığını bilmiyoruz. Aksi takdirde olduğunu biliyorduk .$L \neq NL$