Polinom hiyerarşisinin seviyeleri için etkileşimli kanıtlar

33

Bir PSPACE makineniz varsa, polinom hiyerarşisinin herhangi bir seviyesine etkileşimli bir kanıt verebilecek kadar güçlü olduğunu biliyoruz. (Doğru hatırlıyorsam, ihtiyacın olan tek şey #P.) Ama bir dilinde etkileşimli bir üyelik kanıtı vermek istediğini varsayalım . problemleri çözebilmek için yeterli mi? içindeki problemleri çözmek yeterli mi? Daha genel çözebilecek eğer veya ne sorunları, bu her languates içinde etkileşimli deliller oluşturmak için yeterlidir ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

Bu soru bu cstheory stackexchange sorusundan esinlenmiştir .

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Peter Shor
kaynak

Yalnızca tek prover davasıyla mı ilgileniyorsunuz, yoksa çoklu prover davasıyla mı ilgileniyorsunuz? Bana öyle geliyor ki, bu saldırıya açık yol, iki kanıtlayıcı için doğrudan ileri gelebilecek olan PCP'ler aracılığıyla olacak, ancak muhtemelen tek bir kanıtlayıcı için işe yaramayacak.

— Joe Fitzsimons

1

İki davaya da ilgi duyarım. Tek bir prover için uzunca bir süre bu soruyu merak ettim ama çoklu provayı hiç düşünmedim.

— Peter Shor

4

@Peter: IP = PSPACE kağıdına bakınca, hesaplamak için yeterince güçlü bir kanıtınız olması koşuluyla, kanıtın QBF yerine ( için tamamlanmıştır ) kullanılarak yapıldığı görülüyor aritilmesinden kaynaklanan polinom kimlikleri . Bir şey mi eksik?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons

1

@Joe, bu fikri düşünmedim; işe yarayabilir.

— Peter Shor

2

Joe, belki bir cevap olarak göndermelisin

— Suresh Venkat

25

CoNP için bir IP vermek için bile, mevcut teknikleri kullanarak, kişinin #P'nin tam gücü anlamına geldiği gibi, aritmetize etmesi, yani sayımı kullanması gerekir. CoNP için bile herhangi bir zayıf kanıt çok ilginç olurdu, bence (özellikle yeni bir akraba olmayan teknik anlamına gelecektir).

— Noam
kaynak

@Peter: Noam haklı. Buradan şu satırları alıntılıyorum: ... kara bir kutu azaltma yoluyla NP'in en kötü durumda sertliğine dayanan çarpışmaya karşı dayanıklı hasara dayanmak, BPP ^ NP'deki atasözüyle yardımcı NP için ortak bir prova sistemi anlamına geliyor ... ortak-NP için (hatta çoklu-prover) ispat sistemleri #P karmaşıklığına sahip kanıtlar gerektiriyor ...

— MS Dousti

Bu durumda cevabım çok saçma. Bunu gösterdiğin için teşekkürler.

— Joe Fitzsimons

Aslında, bu gerçekten ilginçtir, Grafik İzomorfizmi olmayan etkileşimli bir kanıtın sadece bu problem için kehanete sahip bir kanıtı olması gerektiği düşünülürse. GI'nin çok zayıf olduğu (P'de olduğu gibi) veya polinom hiyerarşisinin seviyelerinin etkileşimli kanıtları için sınırların muhtemelen çok gevşemiş olduğunun kanıtı gibi geliyor.

— Joe Fitzsimons

1

Birden fazla proversin yardımcı olduğu bilinmiyor. Bu doğru mu?

— Peter Shor

1

@Joe İzomorfizmi olmayan grafik için kanıt, sabit bir halka açık madeni para kanıtıdır, bu nedenle AM sınıfına koyulur (yaygın olarak eşit inanılır ve dolayısıyla GI ve sahip olduğuna inanılır ). Bu, coNP tam problemlerine üyeliği kanıtlamak için gerekli olduğuna inanılan polinom yuvarlak kanıtından çok daha düşüktür.

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— Boaz Barak

21

Bu, zaman zaman başarılı olmadan üzerinde çalıştığım bilinen (harika) bir açık sorundur.

Avi Wigderson ve ben sorunu söz algebrization kağıdı biz böyle coNP ⊆ IP olarak içeriklerin olsun veya olmasın sorusunu gündeme, _NP teknikleri algebrizing yoluyla kanıtlanabilir. (Burada IP _NP , bir BPP doğrulayıcı ve bir BPP ^NP prover ile IP'yi gösterir.) Eğer cevap varsa, cevap hayır ise, o zaman bu Peter'ın istediği herhangi bir etkileşimli protokolün ilişkisiz olmasının gerekmemesi için resmi bir neden olacaktır. IP için kullanılanların "temelde ötesine" geçen teknikler = PSPACE.

Benzer bir soru, BQP = IP _BQP olup olmadığıdır ; burada IP _BQP , bir BPP doğrulayıcı ve bir BQP (kuantum polinom zamanı) prover ile IP anlamına gelir. Bu soru da açık --- Broadbent, Fitzsimons ve Kashefi'nin yakın tarihli bir atılımının yakından ilgili bir ifadenin doğru olduğunu göstermesine rağmen.

— Scott Aaronson
kaynak

20

Evet, coNP'nin, prover'in #P'den daha zayıf olduğu (örneğin, NP kahinesine erişimi olan polytime) etkileşimli bir kanıtı olup olmadığı sorusu iyi bilinen bir soru. Takip eden son Haitner, Mahmoody ve Xiao gazetesi bu soruyu tartışıyor ve bunun yapılamayacağı varsayımının bazı sonuçlarını gösteriyor.

— Boaz Barak
kaynak

11

Suresh, yorumumu bir cevap olarak göndermemi önerdiğinden, söyleyeceğim. Ancak, bunu ispatlamaya çalışmadığım için bunun tam bir cevap oluşturduğunu düşünmüyorum ve çıkmaza dönüşebilir.

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— Joe Fitzsimons
kaynak

bu sorun zaten coNP'nin kanıtında ortaya çıkmıştır. Toplama protokolü n mermi içeriyor (her değişken için bir tane). Her turda, kanıtlayıcının, üssel olarak büyük bir miktar ile elde edilen polinomun katsayılarını bulması gerekir. #P'den daha az güç kullanarak nasıl yapacağımı bilmiyorum.

— Boaz Barak

@Boaz: Evet, bence bu yaklaşım başarısızlıkla sonuçlandı. Polinomun 0 ve 1'lerin girişleri için yalnızca 1 veya 0 değerlerini aldığı şekilde yapılan bir aritmetleme versiyonunu gördüğümü sanıyordum. Böyle bir durumda, ilgili bir karar sorunu için bir kâhir kullanabilirsiniz. Sonra tekrar, sadece bunu hayal etmiş olabilirim!

— Joe Fitzsimons