Yasak uyarılmış siklik altgraflarla tanımlanan grafik sınıflarındaki polinom problemleri

Crossposted MO'dan .

$C$ , tümü döngüsel olan (en az bir döngü içerir) sınırlı sayıda yasaklanmış alt bölümle tanımlanan bir grafik sınıfı olsun .

Clique ve Clique cover dışında için polinom zamanda çözülebilen NP-sert grafik problemleri var mı?$C$

Doğru hatırlıyorsam, bu bağımsız küme için mümkün değildir ( olmadığı sürece ).$P=NP$

Graphclasses.org'da ara hiç bulamadı.

Clique ve Clique örtüsünün polinom olduğu bir sınıf C5, C6, X164, X165, sunlet4, üçgen içermez

Düzenle

IS ve Domination için olumsuz bu yazıda . Sayfa 2, grafikleri $S_{i,j,k}$.

Üçgensiz grafikler için kolaylaşan bir takım zor problemler olduğunu düşünüyorum; özellikle üçgenlere bölme gibi üçgenlerle doğrudan ilgilenenler (G'nin üçgenlere bölünmesi var mı?). Daha az önemsiz diğer örnekler şunları içerir:

• Kararlı Kesim Sorunu (G'nin GS'nin bağlantısı kesilecek şekilde bağımsız bir S seti var mı?) Bakınız: Grafiklerdeki kararlı setlerde, Ayrık Uygulamalı Matematik. 105 (2000) 39-50'de açıklanmaktadır.

• Kavşak Grafiği Temeli (G, bir k-elementi toprak setinin alt kümelerinin kesişim grafiği midir?). Bakınız: Sorun [GT59] içinde: Garey & Johnson, Bilgisayarlar ve Sürdürülebilirlik : NP-Tamlık Teorisi Kılavuzu.

İşte Mon Tag'ın cevabına bazı ek örnekler:

• Bağlantı Kesildi Cutset sorunu (mu köşe bir dizi kabul S şekilde G - S ve alt grafiğinin G ile indüklenen S kesilir) (bakınız NP tamamlandıktan burada ). Bu sorunun üçgen içermeyen grafikler için polinom olarak çözülebildiğini görmek kolaydır (bu nedenle Mon Tag tarafından belirtildiği gibi Kararlı Kesim problemi).$G$$S$$G-S$$G$$S$

• Üçgen çizgi grafiklerini tanımak NP-tamamlanmış ( buraya bakın ), bu sorunun üçgen içermeyen giriş grafikleri için polinom haline geldiğini görmek de kolaydır.

• Maksimum bağlı eşleşmeyi hesaplamak zordur ( buraya bakın . Eşleşen kenarların herhangi bir çifti için, grafiğin her ikisinde de başka bir kenar varsa, bir eşleştirme bağlanır). Sorun için polynomially çözülebilir olduğunu ispat edilebilir içermeyen grafikler.$(C_3, C_4, C_5)$

Yukarıdaki yorumdan : Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer'de, iki Yasak Kaynaklı Altgraf ile Karakterize Edilen Grafik Sınıfları İçin Grafik İzomorfizmi : GI, grafikler için de (daha az önemsiz) çözülebilir polinom zamanıdır ( önemsiz) için ( K s , K 1 , t ) içermeyen grafikler.$(K_s,I_t)\text{-free}$$(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

EDIT : yorumda belirtildiği gibi, bir döngü içermez (Kağıdın tanıtımını çok hızlı okudum).$K_{1,t}$

Biraz düşündükten sonra, aşağıdakileri kanıtlamak kolay görünüyor (orijinal?):

Negatif sonuç: her sonlu kümesi için her hangi H I sınıfı ile sınırlı bir döngü, grafik izomorfizm (GI) sorununu içeren C arasında ( H 1 , . . . , H k ) içermeyen grafikleri Gl-tamamlanır.$\{H_1,...H_k\}$$H_i$$\mathcal{C}$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$

Korumalı: bir sınıfı, sabit her biri grafikler , H ı verilen bir devir, ve şunları içerir G 1 , G, 2 , izin r en uzun döngüsünün uzunluğu , H , i s. Her bir kenar yerine ( u , v ) ve G 1 , G 2 uzunlukta bir yol ile l = ⌈ R / 3 $(H_1,...,H_k)\text{-free}$$H_i$$G_1,G_2$$r$$H_i$$(u,v)$$G_1,G_2$$l = \lceil r/3 \rceil$ ekleme yeni bir düğüm ( u , s 1 , s 2 , . . . , s l , v ) (aşağıdaki şekle bakınız). Yeni grafikler yapı ile G ' 1 , G, ' 2 olan ( H 1 , . . . , H k ) içermeyen gerçekten mümkün olan en kısa devir uzunlukta olmalıdır bir üçgen ile oluşturulanlardır 3 ⌈ R / 3 $l$$(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$$G'_1, G'_2$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ ; ve ve sadece orijinal eğer onlar izomorf olduğunu kanıtlamak kolaydır G 1 , G 2 izomorfik.$3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$$G_1,G_2$

Şekil : bir grafiktir solda ve eşdeğer ( H 1 , . . . , H k ) içermeyen grafiktir G ' 1 sağdaki (en uzun çevrim varsayalım H I uzunluğu olan r = 15 , yani her kenar G 1 uzunlukta bir yol ile değiştirildiği l = 5 .$G_1$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$$G'_1$$H_i$$r=15$$G_1$$l = 5$

Negatif sonucu Hamiltonian döngüsü NPC problemine de genişletebiliriz, aslında aşağıdakilere hemen bir sonuç (orijinal?):

Teorem : Herhangi bir , G grafiği ≤ k uzunluk döngüleri içermese bile, Hamilton döngüsü problemi NP-tamamlanmış kalır.$k \geq 3$$G$$\leq k$ .

Korumalı Biz Hamilton döngüsü sorun NPC bile düzlemsel yönlendirilmiş grafikte olduğunu biliyoruz her bir düğüm ile v : tatmin O u t d , e g ( v ) + i n d , e g ( v ) ≤ 3 (Papdimitriou ve Vazirani, iki adet Gezgin Satıcı Sorunuyla İlgili Geometrik Sorunlar). Bu grafik dönüştürmek G bir undirectde grafiğe G ' sadece düğümleri gelen kenarında bir düğümü ekleme v sahip i n d $G$$v$$outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$$G$$G'$$v$ , ve boğumun giden kenarına v sahip i n d , e g ( v ) = 2 . Sonra düğümleri yerini alabilir G ' aşağıdaki şekilde gadget. Sadece iki geçerli geçişin (zikzaklar)olduğunu görmek kolaydır$indeg(v )=1$$v$$indeg(v)=2$$G'$ , gadget'ın her düğümünü tam olarak bir kez ziyaret eden ) (şekilde kırmızı ve yeşil yollar): gadget'lar yukarıdan aşağıya, aksi takdirde yatay (gelen veya giden) yoldan geçemez kesilirdi. Ayrıca, aletlerin dikey / yatay segmentlerine yeterli düğüm yerleştirebilir ve uzunluk döngüsünün olmamasını sağlamak için zikzak sayısını artırabiliriz $\geq k$gadget'ta veya birbirine bağlı 3 gadget'lık bir üçgende mümkündür. Ortaya çıkan grafik, eğer bu Garantisidir bir Hamilton döngüsü vardır, orijinal grafik G aynı zamanda Hamilton döngüsüne sahiptir (tersi aracın yapı ile hemen olan).$G''$$G$

Sonuç: Hamilton döngüsü ve yol problemleri ile sınırlı olsa bile, NP-tam kalır her grafikler, H ı bir döngü içerir.$(H_1,...,H_k)\text{-free}$$H_i$

MAX-CUT NP-tamamlanmış olarak kalır.

Lemma 3.2 basit max-cut, aşağıdaki iki grafik sınıfında NP-tamamlanmıştır:

$k$$k \ge 3$

Bir kenarı iki kez alt bölümlere ayırıyorlar.

"MAX-CUT ve grafiklerde çevreleme ilişkileri Marcin Kaminski"