Hakim küme problemi maksimum NP 3 tam düzlemsel bipartit grafiklerle mi sınırlı?

Herkes DOMINATING SET problemi için maksimum derece 3 düzlemsel iki taraflı grafik sınıfıyla sınırlı NP tamlık sonucunu biliyor mu?

Maksimum derece düzlemsel grafiklerin sınıfı için NP-tamamlanmış olduğunu biliyorum (bkz. Garey ve Johnson kitabı) ve maksimum derece 3'lük iki taraflı grafikler (bkz. M. Chlebík ve J. Chlebíková, " sınırlı dereceli grafiklerde set problemlerine hâkim olma "), ancak literatürde ikisinin kombinasyonunu bulamadı.

Basitçe aşağıdakileri yaparsanız: grafiği verildiğinde , G'nin her kenarını 4 parçaya bölerek başka bir G ′ = ( V ∪ U , E ′ ) grafiği oluşturun ; burada U tanıttığımız yeni düğümler kümesidir ve | U | = 3 | E | .$G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

grafiği iki taraflıdır. Dahası, eğer G düzlemsel ise ve maks. derece 3 ise, G ′ da düzlemseldir ve maks. derece 3.$G'$$G$$G'$

Let için belirlenmiş hakim bir (en az) G ' . Bir kenar düşünün ( x , y ) ∈ E bir yol oluşturmak üzere alt bölümlere ayrılması edildi ( x , bir , b , c , y ) içinde G ' . Şimdi açık olan en az bir a , b , c olan D ' . Biz birden fazla varsa Ayrıca, bir , b , c olarak D ' , biz değiştirebilir$D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$ böylece geçerli bir hakim küme olarak kalır ve boyutu artmaz. Örneğin, varsa bir ∈ D ' ve c ∈ D ' , eşit derecede iyi kaldırabilir c den D ' ve ekleme y için D ' . Bu yüzden wlog var | D ′ ∩ U | = | E | .$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$$|D' \cap U| = |E|$

Sonra düşünün . X ∈ V ve x ∉ D ′ olduğunu varsayın . Daha sonra, bir düğüm olmalıdır bir ∈ D ' , öyle ki ( x , bir ) ∈ e ' . Bu nedenle, bir kenar vardır ( x , y ) ∈ E örneğin bir yola sahip olduğu ( x , bir , b , c , y ) içinde G $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$. Bu yana ve bir ∈ D ' , var b , c ∉ D ' , ve hakim c biz olmalıdır y ∈ D ' . Bu nedenle de G düğüm y bir komşu x ile y ∈ D . Yani D , G için baskın bir settir .$a,b,c \in U$$a \in D'$$b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$$G$

Tersine, G için (minimum) baskın bir setini düşünün . G ′ için hakim bir D ′ oluşturun, böylece | D ′ | = | D | + | E | aşağıdaki gibi: bir kenar için ( x , y ) ∈ E bir yol oluşturmak üzere alt bölümlere ayrılması edildi ( x , bir , b , c , y ) içinde G ' ,, eklenecek bir üzere$D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$ , eğer x ∉ D ve y ∈ D ; Eklemek c için D ' ise X ∈ D ve y ∉ D ; ve aksi takdirde biz eklemek b için D ' . Şimdi kontrol edilebilir D ' için hakim kümesidir G ' inşaat olarak, tüm düğümler: U hakimdir. Şimdi x ∈ V ∖ D ′ olsun . Sonra bir y ∈ V öyle ki$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$ ve dolayısıyla yol boyunca ( x , bir , b , c , y ) Elimizdeki bir ∈ D ' hakim x .$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

Özet olarak, k boyutunda baskın bir kümesi varsa , G ′ en fazla k + | E | ve G ′ 'nın hakim k + kümesi varsa | E | , o zaman G en fazla k olan baskın bir boyut kümesine sahiptir .$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

Düzenleme: Bir illüstrasyon eklendi. Üstte: orijinal grafik ; orta: Grafik G ' "normalleştirilmiş" bir hakim grubu ile; alt: Grafik G ' keyfi bir görünen dizi.$G$$G'$$G'$