Principia Mathematica tarzı resmileştirme için hangi otomatik teorem kanıtlama paradigması uygundur?

Russell'ın Principia Mathematica (PM) ve mantıksal pozitivizmden esinlenerek, aksiyomları belirleyerek ve bunlardan teoremleri çıkararak belirli bir alanı resmileştirmeye çalışan bir kitabım var. Kısacası, PM'nin matematik için ne yapmaya çalıştığını kendi alanı için yapmaya çalışır. PM gibi, otomatik teorem kanıtlama (ATP) mümkün olmadan önce yazılmıştır.

Bu aksiyomları modern bir ATP sisteminde temsil etmeye ve başlangıçta yazar tarafından çıkarılan teoremleri çıkarmaya çalışıyorum (elle). Daha önce bir ATP sistemi kullanmadım ve her birinin güçlü, zayıf ve amaçlanan uygulamalarına sahip çok sayıda seçenek (HOL, Coq, Isabelle ve daha fazlası) verildiğinde, hangisinin benim için uygun olduğuna karar vermek zor amaç.

Yazarın formalizmi PM'yi yakından yansıtır. Sınıflar (kümeler?), Sınıfların sınıfları vb. 6 seviyeye kadar hiyerarşi vardır. Birinci dereceden ve muhtemelen daha yüksek dereceden mantık vardır. PM bağlantısı göz önüne alındığında, Metamath'ı araştırdım, çünkü PM'nin çeşitli teoremleri diğer insanlar tarafından MetaMath'te kanıtlanmıştır. Ancak Metamath, elbette bir ATP sistemi değil, kanıtlayıcı bir doğrulayıcıdır.

Çeşitli ATP sistemlerinin tanımlarından geçerek, Kilise tipi teorisi, yapıcı tip teorileri, sezgisel tip teorileri, yazılan / türlenmemiş küme teorisi, doğal kesinti, lambda calculi tipleri, polimorfizm, özyinelemeli fonksiyon teorisi ve eşitliğin varlığı (ya da olmaması). Kısacası, her sistem çok farklı bir dil uygulamaktadır ve farklı şeyleri resmileştirmek için uygun olmalıdır. Matematiği resmileştirmek için var olan kütüphanelerin amacımla ilgili olmadığını varsayıyorum.

Bir ATP seçiminde aramam gereken özellikler ile ilgili herhangi bir tavsiye veya bu soruyu okuduktan sonra sahip olabileceğiniz diğer tavsiyeler çok takdir edilecektir. Referans olarak, kitaptan bir örnek sayfa. Ne yazık ki, PM gibi, Peano-Russell gösterimindedir.

Kitap -

"Biyolojide Aksiyomatik Yöntem" (1937), JH Woodger, A. Tarski, WF Floyd

Aksiyomlar mereolojik ile başlar. Örneğin,

$x$$\alpha$$\alpha$$x$$y$$x$$z$$\alpha$$y$

$$S{ = }_{ Df }\hat { x } \hat { \alpha } \{ \alpha \subset \vec { { P }^{ ‘ } } x:.(y):yPx.\supset .(\exists z).z\in \alpha .\vec { { P }^{ ‘ } } y\cap \vec { { P }^{ ‘ } } z\neq \Lambda \}$$

Yine, bunun Peano-Russell notasyonu (Principia notasyonu) olduğuna dikkat edin.

Daha sonraki aksiyomlar,

7.4.2 Bir Mendel sınıfının iki üyesinin gametleri, zigot oluşturmak için çiftler halinde birleştiğinde, verilen herhangi bir çiftin birleşme olasılığı diğer çiftinkine eşittir.

Bu, anladığım kadarıyla Mendel genetiğinin bir varsayımıydı.

Bunun için gösterimi atladım çünkü üç satır uzunluğunda ve daha önce tanımlanmış içeriğe dayanıyor.

Teorem örneği -

Görünüşe göre bu, Mendel genetiğinde, biyoloji tarihçisi olmayan, anlamadığım anlamlı bir yorum taşıyor. Kitapta elle çıkarıldı.

Teşekkürler!

Principia Mathematica , 20. yüzyılın başında matematiksel mantıkta keşfedilen çeşitli paradokslara büyük ölçüde tepki veriyordu. Bununla birlikte, genellikle 'okunamayan bir şaheser' olarak eğik bir şekilde övülen işin kendisi biraz sakar ve daha modern temeller hazırlanmıştır. Matematiğin çoğunu tanımlamak için birkaç seçeneğiniz vardır: kategori teorisi birdir, tip teorisi bazı projelerde lambda hesabının bir uzantısı olarak popüler olmuştur, ancak en iyi anlaşılan ve en temel olan muhtemelen teoridir.

Küme teorisinin birkaç farklı formülasyonu vardır; Zermelo Frankel teorisi seçim aksiyomu ile ayarlanmış en ortodoks, set teorisi meraklıları tarafından sevgiyle olarak . Tarski-Grothendiek set teorisi, Tarski'nin büyük kategorilerle ilgili akıl yürütme aksiyomunu içeren büyük ölçüde benzeyen bir başka teoridir . Bunlar doğrulama için ilginçtir, ancak otomatik teorem kanıtlama için biraz daha zordur, çünkü değiştirme aksiyom şeması, uygulama için zorluğu temsil eden sonsuz sayıda aksiyomu kabul eder. Bu temeller Tarski-Grothendiek için Mizar teorisi ve için Metamath gibi kanıt doğrulama sistemleri için son derece makul olsa da$\sf ZFC$$\sf\ ZFC$$\sf ZFC$, gerçek bir teorem kanıtlama sistemi için, sonlu aksiyomatizasyona sahip olmak güzel olurdu.

Muhtemelen bunun için en uygun olan temel Von Neumann – Bernays – Gödel set teorisi veya , bu da uygun sınıfların ve setlerin ontolojisi olan iki sıralı teori olarak sonlu aksiyomatizasyonu kabul eder. Dahası, kanıtlanmış oldu bir muhafazakar uzantısıdır herhangi teoremi böylece, bir teoremi olan$\sf NBG$$\sf NBG$$\sf ZFC$$\sf NBG$$\sf ZFC$. Bu teorinin otomatik akıl yürütme için en uygun olmasının nedeni, etkili, sağlam ve eksiksiz bir kanıt hesabını kabul eden birinci dereceden mantıkta ifade edilebilir olması ve sonlu aksiyomatizasyon, bize verilen birinci dereceden çözünürlükle kullanılabileceği anlamına gelir. düzenli sonuç: Bir ifade karar verilebilirse, sonunda bir kanıt bulunur.

Önerme mantığı yeterince ifade edici değildir ve daha üst düzey mantık, çok daha etkileyici olsa da, etkili, sağlam ve eksiksiz bir kanıt hesabını kabul etmez. Küme teorisine sahip birinci dereceden mantık, daha yüksek dereceli mantıksal teorileri temsil etmenize ve haritalandırmanıza olanak tanır, bu nedenle temel nokta için temeller ... kararsız ifadeler olasılığı (Gödel sayesinde) hariç, bu yüzden yeterli nicelik derecesinin birinci dereceden teorileri genellikle yarı karar verilebilir olarak tanımlanır.

Art Quaife bu konuda bazı çalışmalar yaptı: Temel Matematiksel Teorilerin Otomatik Geliştirilmesi, birinci derece mantık biçiminde, karar tabanlı bir teorem prover (Otter) ve mücadele için mükemmel bir referans olarak kullanılabilecek şekilde bu tür çalışmaların temelleri Elliott Mendelson'un Matematiksel Mantık'a Girişidir .$\sf NBG$

Modern kanıt asistanları genellikle Principia Mathematia paradigmasından gelen vakıflarla daha az ilgileniyorlar ve günlük iş için kanıtlayan teorem için daha kullanışlılar ve bu nedenle daha yüksek dereceli mantık, SAT / SMT çözme, tip teorileri ve diğerleri için bazı destekleri var daha gayri resmi ve daha az temelsel yaklaşımlar. Ancak Principia Mathematica gibi bir şey yapmaya çalışıyorsanız , son derece aksiyomatize edilebilir bir birinci dereceden küme teorisine sahip bir birinci dereceden çözünürlük teoremi uzmanı idealdir.

Otomatik teorem ispatlayıcılar bu vakıfların sorunları saldırı nasıl bazı örnekler için teorem ispatlayıcılar (için Sorunları Binlerce TPTP ) sitenin sorunlarının güzel numarası vardır ve sayı teorisi temel sorunların çoğunun kurulurlar dikkat edeceğiz set teorisi. Vaktiniz varsa, sitelerinde NUM006-1.p'ye bakın: Goldbach varsayımı. Çalıştırmayı deneyebilirsiniz ve eğer karar verilebilirse, sonunda bir kanıt bulunacaktır .$\sf NBG$

Kitabınızdaki teoremler , set teorisinin dilinde yazılmış oldukları düşünüldüğünde , hemen hemen teoremleri olacaktır . Bu kitaptaki genetik aksiyomları, neredeyse kesin olarak, teorik tahminlerde tanım olarak, Peano aritmetiğinin tanımları olarak temsil edildiği gibi temsil edilecektir . Oradan herhangi bir ATP'de çözüm prosedürünü takip edersiniz. Kanıtlamak, reddetmek, Skolem normal formuna, ardından yantümsel forma dönüştürmek istediğiniz bir ifade seçin ve çözümü izleyin. Boş maddeyi bulduğunuzda, ifadeyi kanıtlayan bir çelişki buldunuz.$\sf NBG$$\sf NBG$

Elinizde olan görev varsa sen küme kuramı açısından teorisini tanımlamak girişimi istiyorum, küme kuramı açısından yüklemler olanak sağlayacak küme teorisinin ayrıdır ilişkisel yüklem tanımları, bulmaktır. Yine bunun bir örneği, kendi başına sayı, toplama, çarpma ve hatta eşitlik tanımı olmayan küme teorisinde Peano aritmetiğini nasıl tanımladığımızdır. Eşitlik gibi bir ilişkinin kuramsal tanımının bir örneği olarak, bunu üyelik açısından şu şekilde tanımlayabiliriz:

$\forall$ xy ( z (z x z y) x = y)$\forall$$\in$$\leftrightarrow$$\in$$\leftrightarrow$

Adil bir uyarı: bunun için öğrenme eğrisi gerçekten çok dik. Bunu yapmak niyetindeyseniz, deneyimimi olduğu gibi, tüm sorunu yakalamadan önce kendinizi birkaç yıl içinde bulabilirsiniz. Teoriyi, her şey için temel bir dile gömmek gibi muazzam bir görev üstlenmeden önce daha az temelli bir yaklaşımla incelemek isteyebilirsiniz. Sonuçta, karıştırılamayan gen gruplarının karıştırılması konusunda mutlaka mantık yürütmeniz gerekmez.

Birkaç puan:

1. Bildiğim kadarıyla, Principia Mathematica temel olarak bir dizi birinci dereceden mantık kullanarak küme teorisinin resmileştirilmesini kullanır. Bu nedenle , beyanlarınızı resmileştirmek için Prover 9 veya muhtemelen ACL2 gibi birinci dereceden otomatik bir teorem prover'ı kullanmak cazip gelecektir . Ancak, orada genellikle ilk sipariş ATP ile çok iyi oynamıyor birkaç set-teorik yapılar ( , ) görüyorum .$\in$$\cap, \subset$

2. Herhangi bir modern interaktif kanıt asistanı, Andrej'in önerdiği gibi, beyanlarınızı resmileştirmek ve kanıtlamak için elbette bir ifadeye sahip olacaktır. Aslında, aritmetik dahil bazı ifadeler göründüğü için , aritmetik ifadeleri tedavi etmek için zaten geniş teorilere sahip olan Isabelle , Coq veya HOL gibi bir sistem kullanmak akıllıca olacaktır . Modern vurgu benim tesadüf değil: Automath'tan bu yana kullanılabilirlikte büyük adımlar atıldı ve dürüst olmak gerekirse, 90'lardan beri aktif olarak geliştirilmemiş bir şey kullanarak kendinize bir kötülük yapacağınızı düşünüyorum (eğer bir tane bile alabiliyorsanız) çalışmak!)

3. Son olarak, ITP ve ATP'nin oldukça zor öğrenme eğrileri vardır ve bu teoremleri bir kanıtı yazıyormuşsunuz gibi bir sisteme girmeyi beklememelisiniz . Özellikle ilk aylarda (evet, aylar) ciddi hayal kırıklığı ve kayıp zaman bekleyin. Ana resmileştirmeye başlamadan önce mutlaka bazı eğiticilerden geçmeniz gerekir.$\LaTeX$