Yerel swaplar kullanarak jetonların grafik üzerinde karıştırılması

Let için belirgin ve derecesi sınırlanan, düzenli olmayan bir bağlı grafik olabilir. Her düğümün benzersiz bir jeton içerdiğini varsayalım. $G= (V, E)$

Ben sadece yerel takas kullanarak (yani iki bitişik düğüm arasında belirteç değişimi) grafik arasında belirteçleri düzgün bir şekilde karıştırmak istiyorum? Bu sorun için bilinen bir alt sınır var mı?

Sahip olduğum tek fikir, rastgele bir yürüyüş sonucu kullanmak, daha sonra jeton taşıyan rastgele yürüyüşlerin grafik üzerindeki etkisini "taklit etmek" için ne kadar takas gerektiğini görmek.

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— Sylvain Peyronnet
kaynak

Ne tür bir alt sınır arıyorsunuz? Toplam takas sayısı? Paralel mermi sayısı (yani 1 adımda

bir eşleşmenin tüm kenarları boyunca geçiş yapabilirsiniz )? Bir işlevi olarak alt sınır

? Tüm düğümler

topolojisini biliyor mu (ve davranışlarını buna göre uyarlayabiliyor) mı yoksa herhangi bir grafikte uygulayabileceğiniz sabit bir strateji mi arıyorsunuz?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela

Daha spesifik olmalıydım, üzgünüm. Amaç, rastgele yürüyüşlere dayalı yöntemlerin (esas olarak aynı düğümde çarpışan birkaç jeton nedeniyle bilgi kaybı) sorunlardan kaçınan sensör ağları için bir veri yayma yöntemi tasarlamaktır. Bu yüzden toplam swap sayısı ile ilgileniyorum (bu ağda dolaşan mesajların sayısını verecektir) ve mermi sayısı (yakınsama süresinin kaba bir tahminine sahip olmak için).

bir fonksiyonu olarak bir LB iyidir ve düğümler topolojiden haberdar değildir (maalesef).

V

$V$

— Sylvain Peyronnet

Yanıtlar:

Grafiğinizin bir yol olduğunu varsayalım. Sonra bu sorun, bitişik girişleri değiştirerek bir dizideki sayılar rasgele bir dizi sıralama eşdeğer olur düşünüyorum. Tüm düğümlerden bile topoloji farkındadır, takas sayısında ^ 2 alt sınır elde edersiniz (rastgele bir girişte bile n ^ 2 olan kabarcık sıralamasından daha iyi olamaz).

— Lev Reyzin
kaynak

O (n^{2})

$O(n^2)$

Bu LB takaslarınızı seçseniz bile algoritmayı geliştiremeyeceğinizi söylüyor ... ama doğru, sanırım (ortalama?) Derecesi yükseldikçe sorun daha kolay olabilir.

— Lev Reyzin

Derecesi büyüdüğünde şeyin nasıl gittiğini görmek için bazı simülasyonlar planlayacağım.

— Sylvain Peyronnet

Aslında, bu LB (bazı değişikliklerle), yolun iki ucu büyük kliklere sahip olsa bile - n / 2 düğümlü bir yolla bağlanmış n / 4'teki 2 klikte olduğu gibi görünecektir. Şimdi ortalama derece O (n), yine de n ^ 2'yi yenemezsin. Belki de asgari derecede empoze etmemiz gerekir?

— Lev Reyzin

Evet, minimum bir dereceye ihtiyacımız var :(

— Sylvain Peyronnet

Bu sorun ve sıralama ağları arasındaki ilişkiyi belirtmek istiyorum. Örneğin, grafiğiniz bir yolsa, önemsiz doğrusal derinlik sıralama ağı , doğrusal sayıda turda herhangi bir permütasyon alabileceğinizi de gösterir. Dahası, bu sıkıdır, çünkü yolun uç noktalarındaki elemanların değiştirilmesi doğrusal sayıda tur gerektirir.

AKS sıralama ağları, logaritmik turlarda herhangi bir permütasyon alabileceğiniz grafikler olduğunu göstermektedir. Izgara grafikleri için, bkz . Bu ders notları .

(Elbette sıralama ve karıştırma farklı problemlerdir, ancak birçok üst ve alt sınır ilişkilidir. Örneğin, rastgele etiketler seçin ve etiketlere göre sıralayın.)

— Jukka Suomela
kaynak

İşaretçi için teşekkürler. Bu yönde kazacağım, belki de burada ihtiyacım olan şey bu değil (iyi bir grafik türüne sahip olup olmadığımdan emin değilim) ama kesinlikle er ya da geç kullanacağım bir şey olacak!

— Sylvain Peyronnet