Afin lambda taşı P'deki her problemi çözebilir mi?

Tipler ve Programlama Dillerinde İleri Konularda, alt yapısal tip sistemler bölümünde, listeler için özyinelemeli bir birleştirici ile "dikkatle hazırlanmış" bir afin lambda taşının yalnızca polinom çalışma süresi olan terimleri yazabileceği belirtilmektedir ( karmaşıklığı nedeniyle kanıt sunmak). P'deki her problemi de çözebilirsek bu çok ilginç olurdu. Sunulan hesabı kullanarak P-komple problemine bir çözüm bulmaya çalışabilirim. Bana göre, bir P-complete problemine bir çözüm kullanmak için gerekli tüm indirimleri önceden yapabileceği anlamına gelmiyor gibi görünüyor (her ne kadar emin görünüyorsa da).

Afin bir lambda hesabının P'deki problemleri tam olarak çözebileceği bilinmiyorsa, P'deki problemleri tam olarak çözebilecek bilinen herhangi bir matematik var mı?

cc.complexity-theory type-theory lambda-calculus

— Jake
kaynak

Cehaletimi affedin, ama tamamlama problemine bir örnek nedir ve daha da önemlisi, hangi azaltma kavramını kullanıyorsunuz?

P

$P$

— Andrej Bauer

Wikipedia'da biraz buldum: en.wikipedia.org/wiki/P-complete#P-complete_problems . Devre değeri sorunu ve korna-SAT ilgi çekicidir. Doğrusal programlama da görünüşe göre tamamlayıcıdır. Bu slaytlar devre değeri sorununu önceden iyi tanımlar cs.cornell.edu/courses/CS6820/2012sp/Handouts/cvp.pdf . Görünüşe göre indirimleri veya kullanılmış, indirimleri indirimlerinden daha zayıftır . Ben de memnun olurdu; vs kullanmanın sonuçlarının tam olarak ne olduğundan emin değilim .

P

$P$

L

$L$

N C

$NC$

L

$L$

N C

$NC$

L

$L$

N C

$NC$

— Jake

P için tamamlanmış doğrusal diller vardır. İlginçtir, genellikle problemler için eksiksizdir, ancak algoritmalar için değildir. Yani, P'deki her sorun için bir poli zaman programı yazabilirsiniz, ancak her çoklu zaman algoritması ifade edilemez.

— Neel Krishnaswami

Bu ifade kabaca "genellikle P için eksiksiz fakat FP için değil" ile eşdeğer midir? Ayrıca bazı örnekler verebilirseniz, bu harika bir cevap olacaktır.

— Jake

Neel Krishnaswami, referans verebilir misiniz? Kulağa ilginç geliyor.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Düzenleme: Aşağıdaki ilk paragrafta benim tahminim yanlış! Ugo Dal Lago, Martin Hofmann'ın (POPL 2002'de ortaya çıktı) daha sonradan (daha genel sonuçların bir sonucu olarak) ATTPL kitabındaki sistemin aslında ( ) ' deki her fonksiyonu hesaplayamamasına rağmen ). Yani, sürpriz olarak, ana sorunun cevabı evet. $\mathsf P$ $\mathsf{FP}$

Eğer (ATTPL kitaptan) başvuruyorsunuz sistemi ile ilgili olarak oldukça emin değilim olamaz her dil karar . Kesinlikle her fonksiyona hesaplayamaz : o bölümün notlarında belirtildiği gibi, sistem Martin Hofmann en Lics dan 1999 kağıt ( "Doğrusal türleri ve boyut olmayan artan polinom zamanlı hesaplama") alınır, hangi o gösterildiğini Temsili işlevlerin çoklu zaman ve boyut artırıcı olmaması $\mathsf P$ $\mathsf{FP}$ ve çok sayıda çoklu zaman işlevini içermez Ayrıca, bu dilde simüle edebileceğiniz Turing makinelerinin kasetinin boyutu üzerinde ciddi bir sınırlama veriyor gibi görünüyor. Bu makalede, Hofmann doğrusal uzay hesaplamasını kodlayabileceğinizi gösteriyor; benim tahminim çok daha fazlasını yapamayacağınızdır, yani bu sisteme karşılık gelen sınıf kabaca çoklu zaman ve doğrusal uzayda eşzamanlı olarak çözülebilen problemlerdir.

İkinci soru ile ilgili olarak orada birkaç tam olarak sorunların çözülebileceğini -calculi . Bunlardan bazıları, atıfta bulunduğunuz ATTPL bölümünün notlarında belirtilmiştir (Bölüm 1.6): Leivant'ın katmanlı hesabı (POPL 1993 makalesine veya Jean-Yves Marion "Lambda Calculus Poly-Time Karakterizasyonu " Fundamenta Informaticae 19 (1/2): 167-184, 1993), ve Bellantoni ve Cook karakterizasyonu ile ilgilidir ; ve Girard'ın hafif doğrusal mantığından ( Bilgi ve Hesaplama , 143: 175-204, 1998) veya Lafont'un yumuşak doğrusal mantığından ( Teorik Bilgisayar Bilimi ) elde edilen hesabı $\lambda$ $\mathsf P$ $\lambda$ $\mathsf{FP}$ $\lambda$ 318 (1-2): 163-180,2004). Bu son iki mantıksal sistemden kaynaklanan ve çok-zamanlı sonlandırmayı sağlayan (yine de bütünlükten yararlanırken) tip sistemler bulunabilir:

Patrick Baillot, Kazushige Terui. Lambda hesabında polinom zaman hesabı için ışık tipleri. Bilgi ve Hesaplama 207 (1): 41-62, 2009.

Marco Gaboardi, Simona Ronchi Della Rocca. Işık mantığından tip ödevlerine: bir vaka çalışması. IGPL 17 (5) Mantık Dergisi : 499-530, 2009.

Bu iki makalede daha birçok referans bulacaksınız.

Sonuç olarak, Neel Krishnaswami'nin sözünü genişletmeme izin verin. Durum biraz ince. Yukarıdakilerin hepsi -calculi Eğer başka deyişle F., çok daha adil polytime fonksiyonlarından daha hesaplamak örnek sistem için söyleyebiliriz ki daha genel taşlarının kısıtlamalar, olarak görülebilir, bir özellik tanımlamak sistemi F programlarının öyle ki: $\lambda$ $\Phi$ $P:\texttt{string}\rightarrow\texttt{bool}$

Duyarlılık: tarafından karar dil ima olan ; $\Phi(P)$ $P$ $\mathsf P$

eksiksizliği: her için , bir sistem F program vardır karar olacak şekilde . $L\in\mathsf P$ $P$ $L$ $\Phi(P)$

İlgi ile ifade edilen mülkün tamamen sözdizimsel olması ve özellikle de karar verilebilir olmasıdır. Bu nedenle, bütünlük ancak geniş kapsamlı bir anlamda olabilir: , en sevdiğiniz ve , F sisteminde ifade edilen karar vermek için en sevdiğiniz algoritma ise , . Tüm bildiğiniz başka bir sistem F programı karar ve tutar. Ne yazık ki, $\Phi$ $L$ $\mathsf P$ $P$ $L$ $\Phi(P)$ $P'$ $L$ $\Phi(P')$ $P'$ çok daha yapmacık . Gerçekten de, bütünlük, polinom-saatli Turing makinelerinin F sistemi tatmin edici olarak kodlanmasıyla kanıtlanmıştır . Bu nedenle, en sevdiğiniz algoritmayı kullanarak çözmenin tek garantili yolu, bu algoritmayı bir Turing makinesine uygulamak ve daha sonra tamlık kanıtı olarak verilen kodlamayı kullanarak (kendi kodlamanız çalışmayabilir!) F sistemini sisteme çevirmektir. Programlama açısından tam olarak en şık çözüm değil ... Tabii ki, birçok durumda "doğal" programı tatmin ediyor . Bununla birlikte, diğer birçok durumda, bunu yapmaz: yukarıda bahsedilen LICS 1999 belgesinde, Hofmann örnek olarak ekleme türünü vermektedir. $P$ $\Phi$ $L$ $P$ $\Phi$

Daha geniş bir dilin (yukarıdaki örneğimdeki F sistemi) tam olarak çoklu zaman programlarını yazabilen kasıtlı olarak tam tip sistemler mevcuttur. Tabii ki, genel olarak kararsızdırlar. Görmek

Ugo Dal Lago, Marco Gaboardi ile ilgili tarafsız yorumlar, yazılar, öneriler ve görüşler sağlar. Doğrusal Bağımlı Türler ve Bağıl Tamlık. Bilgisayar Biliminde Mantıksal Yöntemler 8 (4), 2011.

— Damiano Mazza
kaynak

İkinci yarıda ne söylemeye çalıştığınızı anlamıyorum. Açıklamanıza dayanarak, çok zamanlı Turing makinelerinin aynı sorunu çözen F-programlarına sözdizimsel dönüşümü vardır. Görebildiğim kadarıyla, bu bir hesaplama modelinden diğerine geçerken ümit edebileceğiniz en iyi şey.

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek: Ben

oldukça kısıtlayıcı olduğunu ve birçok "doğal" çoklu zamanlı F-programını reddettiğini söylemeye çalışıyorum . Orada bir sistem F programcısı diye bir şey vardı ve tek olduğunu ve ben tekli Çeşidi tamsayılar (çarpılması için bir program yazmak istesem

), muhtemelen

yazarsınız

Φ

$\Phi$

N a t := \forall X . (X \to X) \to X \to X

$Nat:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$

. Daha sonra, teriminizin reddedildiğini bulmaktan hayal kırıklığına uğrayabilirsiniz ve bunun yerine, ekleme işlemini yineleyerek çarpmayı programlamanız gerekir. (Devamı)

λ m^{N a t} . λ n^{N a t} . Λ X . λ s^{X \to X} . m X (n X s)

$\lambda m^{Nat}.\lambda n^{Nat}.\Lambda X.\lambda s^{X\rightarrow X}.mX(nXs)$

— Damiano Mazza

(Yukarıdaki örnek gerçektir: çoklu-zaman için tüm doğrusal-mantıksal türetilmiş tip sistemlerde, çarpma için olağan terim tipik değildir). Ekleme türünü bu şekilde programlayamayacağınızı (kesinlikle politime) söyleyemezsem daha da hayal kırıklığına uğrayabilirsiniz, ancak Turing makinesini uygulayarak yazıp F sistemine kodlamanız gerekir . ne üst düzey programlama dili bir tür denetimi "Ben senin iç içe kontrol tipi söyleyerek ile mutlu olurdu ne programcı: Eğer doğru hayal kırıklığına etmek olurdu

düzeneği içinde, döngüler lütfen kodunu bu"? :-)

f o r

$\mathtt{for}$

— Damiano Mazza

Bence bu iyi. Ben esas olarak program arama ile ilgileniyorum (belirli bir özelliği en üst düzeye çıkarmak fonksiyonları bulmak), bu yüzden programcı olmak zorunda değilsiniz, bilgisayar yapar. Bu gece bu referanslara bakacak bir zamanım olacak. Teşekkürler!

— Jake