Rastgele oluşturulmuş bir ağacın beklenen derinliği nedir?

Bu problemi uzun zaman önce düşündüm, ancak bu konuda hiçbir fikrim yok.

Üretme algoritması aşağıdaki gibidir. 0'dan n - 1'e kadar numaralandırılmış $n$ ayrı düğüm olduğunu varsayıyoruz . Her biri için Sonra içinde , yaptığımız ağacında inci düğümün ana rasgele düğüm . Sonuç, kök düğümü olan rastgele bir ağaç olacak şekilde her yineleyin . (Belki de bu yeterince rasgele değil ama önemli değil.)$0$$n - 1${ 1 , … , n - 1 } i { 0 , … , i - 1 } i $i$$\{1, \dotsc, n - 1\}$$i$$\{0, \dotsc, i - 1\}$$i$$0$

Bu ağacın beklenen derinliği nedir?

ilgili bir konsantrasyon sonucu olduğunu düşünüyorum $e \log n$, ama henüz ayrıntıları doldurmadım.

Bu, bir üst düğüm olasılığı için bağlanmış olsun $n$ sahiptir $d$ ataları dahil $0$ . Her olası tam zincir için $d$ sıfır olmayan ataları $(a_1,a_2,...,a_d)$ , zincirin olasılığıdır $(\frac{1}{a_1})(\frac{1}{a_2})\cdots (\frac{1}{a_d}) \times \frac{1}{n}$ . Bu1'ekarşılık gelir$\frac{1}{n}$ kez bir terim$(1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ \cdots \frac{1}{n-1})^d$. Yani, bu olasılık için bir üst sınır H, n-1olann-1st harmonik sayısı1+$\frac{1}{n (d!)} H_{n-1}^d$$H_{n-1}$$n-1$ . Hn-1≈log(n-1)+γ. Sabit içindveN→∞ iken, olasılık düğümNderinliği oland+1en fazla olduğu$1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n-1}$$H_{n-1} \approx \log (n-1) + \gamma$$d$$n \to \infty$$n$$d+1$

$$\frac{(\log n)^d}{n (d!)} \left(1+o(1)\right)$$

Stirling'in yaklaşımı ile bunu şu şekilde tahmin edebiliriz:

$$\frac{1}{n\sqrt{2\pi d}} \left( \frac{e \log n}{d} \right)^d.$$

Büyük , e log n'den çok daha büyük herhangi bir şey , üstel taban küçüktür, bu nedenle bu sınır küçüktür ve bağlı olmayan birliği, d sıfır olmayan atalara sahip en az bir düğüm olma olasılığının düşük olduğunu söylemek için kullanabiliriz. küçük.$d$$e \log n$$d$

---

Görmek

Luc Devroye, Omar Fawzi, Nicolas Fraiman. "Ölçekli ek derinliği özellikleri rastgele özyinelemeli ağaçlar."

B. Pittel. Rastgele tekrarlayan ağaçların ve rastgele m-ary arama ağaçlarının yüksekliğine dikkat edin. Rasgele Yapılar ve Algoritmalar, 5: 337-348, 1994.

Önceki iddia, ikincisinin maksimum derinliğin yüksek olasılıkla ( 1 ) ) log n olduğunu gösterdiğini ve başka bir kanıt sunduğunu.$(e+o(1))\log n$

Bu soru birkaç yıl önce cevaplandı, ama sadece eğlence için, üst sınırın basit bir kanıtı. Beklentiye bağlıyız, sonra kuyruğa bağlıyız.

Rv i ∈ { 0 , 1 , … , n - 1 } düğümü derinliği olarak tanımlayın . Φ i = ∑ i j = 0 e d j tanımlayın$d_i$$i\in\{0,1,\ldots,n-1\}$$\phi_i = \sum_{j=0}^i e^{d_j}.$

lemma 1. Beklenen maksimum derinlik, en fazla $E[\max_i d_i]$ .$e\, H_{n-1}$

Kanıt. Maksimum derinlik en fazla . Bitirmek için gösterdiğimiz E [ ln φ n - 1 ] ≤ $\ln \phi_{n-1}$ .$E[\ln \phi_{n-1}] \le e\, H_{n-1}$

Herhangi biri için , kondüsyonlamanın φ i - 1 incelenmesi ile, φ I , E [ φ $i\ge 1$$\phi_{i-1}$$\phi_i$

$$\textstyle E[\phi_i\, |\, \phi_{i-1}] \,=\,\phi_{i-1} + E[e^{d_i}] \,=\, \phi_{i-1} + \frac{e}{i} \phi_{i-1} \,=\, (1+\frac{e}{i}) \phi_{i-1}.$$

By induction it follows that

$$\textstyle E[\phi_{n-1}] \,=\, \prod_{i=1}^{n-1} (1+\frac{e}{i}) \,<\, \prod_{i=1}^{n-1} \exp(\frac{e}{i}) \,=\, \exp(e\, H_{n-1}).$$

So, by the concavity of the logarithm,

$$E[\ln \phi_{n-1}] \,\le\, \ln E[\phi_{n-1}] \,<\, \ln \exp(e\, H_{n-1}) \,=\, e\, H_{n-1}.~~~~~~~\Box$$

Here is the tail bound:

lemma 2. Fix any $c \ge 0$. Then $\Pr[\max_i d_i] \ge e\,H_{n-1} + c$ is at most $\exp(-c)$.

Proof. By inspection of $\phi$, and the Markov bound, the probability in question is at most

$$\Pr[\phi_{n-1} \ge \exp(e\,H_{n-1} + c)] \,\le\,\frac{E[\phi_{n-1}]}{\exp(e\,H_{n-1} + c)}.$$ From the proof of Lemma 1, $E[\phi_{n-1}]\le \exp(e\,H_{n-1})$. Substituting this into the right-hand side above completes the proof.$~~~\Box$

As for a lower bound, I think a lower bound of $(e-1)H_n - O(1)$ follows pretty easily by considering $\max_i d_i \ge \ln\phi_t - \ln n$. But... [EDIT: spoke too soon]

It doesn't seem so easy to show the tight lower bound, of $(1-o(1))e H_n$...

I have actually thought about the same question (although in a completely different formulation) a few months ago, as well as some close variants.

I don't have a closed form (/ asymptotic) solution for it, but you might find this view useful (are you only looking for upper bound perhaps?).

The process you describe here is a generalization of the Chinese Restaurant Process, where each "table" is a subtree whose root's parent is $v_0$.

This also gives us a recursion formula for your question.

Denote by $h(n)$ the expected heights of a such tree process with $n$ nodes.

Denote by $P_n(B)=\frac{\Pi_{b\in B} (b-1)!}{n!}$ (the probability of distribution $B$ of the nodes into subtrees).

Then the quantity you're looking for, $h(n)$, is given by:

$$h(n)=\sum_{B\in \mathcal B_n}P_n(B)\cdot \max_{b\in B} h(b)$$

If you wish to code this recursion, make sure you use the following so it won't go into infinite loop:

$$h(n)=\frac{\sum_{B\in \mathcal B_n\setminus \{\{n\}\}}P_n(B)\cdot \max_{b\in B} h(b)}{1-\frac{1}{n!}}$$

Where $\mathcal B_n$ is the set of all partitions of $n$ identical balls into any number of non-empty bins, and $h(1)=1$.

---

In practice, when I needed this I just used a simple monte-carlo method for estimating $h(n)$, as trying to actually compute $h$ by this method is extremely inefficient.