Genişletici grafiklerde uzun yolların varlığı

Diyelim bir grafik aile olduğunu söylemek etmiştir uzun yolları uyarılan varsa sabit ε > 0 öyle her grafiği hep G içinde F üzerinde bir uyarılmış yolu içerir | V ( G ) | ϵ köşe noktaları. Uzun indüklenmiş yolların varlığını sağlayan grafik ailelerinin özellikleriyle ilgileniyorum. Özellikle, şu anda sabit dereceli genişleticilerin uzun yollara sahip olup olmadığını merak ediyorum. İşte bildiklerim.$\mathcal{F}$$\epsilon > 0$$G$$\mathcal{F}$$|V(G)|^{\epsilon}$

• Sabit ortalama dereceli (Erdős-Rényi modelinde) rastgele grafikler, yüksek olasılıkla uzun (hatta doğrusal boyutlu) indüklenmiş yollara sahiptir; örneğin Suen'in makalesine bakın .
• Benzersiz komşu genişletici grafikler ( Alon ve Copalbo tarafından tanımlandığı gibi ) büyük uyarılmış ağaçlara sahiptir . Aslında, herhangi bir azami indüklenmiş ağaç bu grafiklerde büyüktür.

Bu iki olgu göz önüne alındığında, sabit derece genişleticilerin uzun yollara yol açmasını beklerdim. Ancak somut bir sonuç bulamadım. Herhangi bir anlayış çok takdir edilmektedir.

Sınırlı grafiğinizin hem sabit genişleme hem de çevresi özelliği varsa yanıt olumlu olmalıdır . Tartışma şudur : bir tepe noktasında başlayın, sonra n ϵ adımlar için, her adımın bizi bir önceki adım olduğumuz yere geri götürmeyenler arasından rastgele seçildiği bir yürüyüşe çıkın . (Yani grafik d- düzenli ise , her adımda d - 1 rasgele seçeneğimiz vardır.)$\Omega( \log n)$$n^\epsilon$$d$$d-1$

Şimdi her için, bu İstem ve j Basamaklara bakarsak, i ve j, yürüyüş, adım tepe arasında bir kenar olduğu ihtimali I ve aşama de tepe j olan N - Ω ( 1 ) . Daha sonra, eğer ϵ yeterince küçük seçilirse, birleşme birliği, yürüyüşün 1 - o ( 1 ) olasılığı olan bir yola neden olacağını gösterecektir . $i$$j$$i$$j$$i$$j$$n^{-\Omega(1)}$$\epsilon$$1-o(1)$

Eğer kolandan daha az olduğunda, i ve j arasındaki bir kenarın olasılığı sadece sıfırdır. Eğer j > ı + Ω ( log n ) , daha sonra grafiğin genleşme kenarının varlığı iddia için yeterli olmalıdır ( i , j ) olasılık ile olur , n - Q'dan ( 1 ) . Bunun nedeni, sabit bir başlangıç ​​tepe noktası v için , yürüyüşün çevreyle eşit bir dizi adımdan sonra dağılımının bir dizi boyut üzerinde eşit olmasıdır.$|i-j|$$i$$j$$j> i+ \Omega(\log n)$$(i,j)$$n^{-\Omega(1)}$$v$ ve dolayısıyla çarpışma olasılığı n - Ω ( 1 ) ; sonraki her adım sadece çarpışma olasılığını azaltmalıdır (bu gerçek bir rastgele yürüyüş için doğrudur, ancak bu geri izleme olmayan yürüyüş için de geçerli olmalıdır) ve böylece dağıtımın çarpışma olasılığı ve dolayısıyla min-entropisi kalır n - Ω ( 1 ) ve v'nin O ( 1 ) komşularındanbirine vurma olasılığıda n - Ω ( 1 ) 'dir .$n^{\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$O(1)$$v$$n^{-\Omega(1)}$