Gerçeklerin matematiği Hesaplanabilir Gerçeklere ne ölçüde uygulanabilir?

Gerçek sayılarla, gerçek sayıların kullanımına ilişkin en bilinen sonuçların yalnızca hesaplanabilir gerçekler göz önüne alındığında kullanılabileceğini belirten genel bir teorem var mı? Yoksa yalnızca hesaplanabilir gerçekler göz önüne alındığında geçerli kalan sonuçların uygun bir karakterizasyonu var mı? Bir yan soru, hesaplanabilir gerçeklerle ilgili sonuçların, tüm gerçekleri veya hesaplanamayan herhangi bir şeyi dikkate almaksızın kanıtlanıp kanıtlanamayacağıdır. Özellikle matematik ve matematiksel analiz düşünüyorum, ama sorum hiçbir şekilde bununla sınırlı değil.

Aslında, Turing hiyerarşisine karşılık gelen hesaplanabilir gerçekler hiyerarşisi olduğunu düşünüyorum (Bu doğru mu?). Sonra, daha soyut bir şekilde, geleneksel gerçek sayılar için geçerli olan, ancak aynı zamanda hesaplanabilir gerçekler için geçerli olacak bir dizi sonucun kanıtlanabileceği soyut bir gerçek teorisi var mı (terminolojinin ne olması gerektiğinden emin değilim) ve eğer varsa, hesaplanabilir realitelerin Turing hiyerarşisinin herhangi bir seviyesine.

O zaman sorum şu şekilde ifade edilebilir: Gelenek gerçekleri için kanıtlandıklarında gerçeklerin soyut teorisinde uygulanacak sonuçların bir karakterizasyonu var mı? Ve bu sonuçlar geleneksel gerçekleri dikkate almadan doğrudan soyut teoride kanıtlanabilir mi?

Ayrıca, bu gerçek teorilerinin nasıl ve ne zaman ayrıştığını anlamakla da ilgileniyorum.

Not: Bu sorumun nereye uyacağını bilmiyorum. Gerçeklerle ilgili matematiğin büyük bir kısmının topoloji ile genelleştirildiğini fark ettim. Bu yüzden sorumun cevabının veya bir kısmının cevabı orada bulunabilir. Ama daha fazlası da olabilir.

Gerçek sayılar birkaç şekilde karakterize edilebilir , Cauchy-komple arşimet emri alanıyla çalışalım . (Görüyoruz biz bu demek tam olarak nasıl biraz dikkatli olmak gerekir Tanım 11.2.7 ve Definition 11.2.10 ait Hott kitabında .)

Aşağıdaki teorem, herhangi bir topos (daha üst düzey sezgisel mantık modeli) için geçerlidir:

Teorem: Cauchy-tamamlanmış arşimet düzenlenmiş bir alan vardır ve aslında bu iki alan kanonik olarak izomorfiktir.

Bunun yanı sıra, sezgisel mantığı ile (karıştırılmamalıdır sezgicilik ) herhangi bir topos'da sonra geçerli gerçek analizi (dizileri ve sınırları, türevleri, integrallerin, süreklilik, düzgün süreklilik, vs.) bir çok yapabilir. Setlerin toposunu alırsak, olağan gerçek analizi elde ederiz. Farklı bir topos alarak farklı türde bir gerçek analiz elde ederiz - ve tam olarak hesaplanabilir gerçekleri ve hesaplanabilir gerçek analizi veren bir topos vardır.

Tabii budur etkili topos gerçek sayılar hangi, Var hesaplanabilir reals (belli belirsiz konuşma, bunun nedeni etkili topos içinde her şey otomatik hesaplanabilir olduğu şekilde inşa olmasıdır). Sorunuzun cevabı

Sezgisel gerçek analizdeki tanımlar, konstrüksiyonlar ve teoremler, etkili toposlarda yorumladığımız zaman, hesaplanabilir reallerle ilgili tanımlara, konstrüksiyonlara ve teoremlere otomatik olarak çevrilir.

Örneğin, "her eşit sürekli harita kendi üstünlüğüne ulaşır " teoremi sezgisel olarak geçerlidir. Etkili topos'ta yorumladığımızda, hesaplanabilir gerçekler üzerinde hesaplanabilir haritalar için, tekdüze bir şekilde sürekli olan karşılık gelen versiyonu elde ederiz.$f : [0,1] \to \mathbb{R}$

Ayrıca, gerçek analiz ve hesaplanabilir versiyonu arasındaki "ıraksama" yı da sorarsınız. Cevap, dışlanan orta yasaya veya seçim aksiyomuna (sayılabilir seçim iyi olmasına rağmen) dayanan sonuçların sezgisel olmadığı ve bu nedenle etkili topos'ta doğrulanamayacağıdır. Bununla birlikte, (popüler düşüncenin aksine) çoğu analizin sezgisel olarak yapılabileceğini belirtmeliyiz .

Etkili topos birçok gerçekleştirilebilirlik toposundan sadece biridir . Sezgisel analizi diğer gerçekleştirilebilirlik toposlarında yorumladığımızda, bahsettiğiniz orasles ile hesaplama da dahil olmak üzere gerçek sayı hesaplanabilirliğinin alternatif modellerini elde ederiz. "Göreceli Kleene işlevi gerçekleştirilebilirlik topoları" (her ne olursa olsun), hesaplanabilir haritaların sadece hesaplanabilir olanlarda değil , tüm gerçekler üzerinde çalıştığı gerçekler üzerinde Tip II hesaplanabilirliği verir .

Bunu "Hesaplanabilir ve Yapıcı Matematik Arasındaki Bağlantı Olarak Gerçekleşebilirlik" notlarında ve bundan önce doktora programımda açıklamaya çalıştım . tez .