Karmaşıklık teorisi için ne tür bir matematiksel altyapıya ihtiyaç vardır?

Şu anda bu yıl mezun olmak için lisans öğrencisi olarak görev yapıyorum. Mezun olduktan sonra, bir TCS yüksek lisans / doktora için çalışmayı düşünüyorum. Hangi matematik alanlarının TCS'ye, özellikle (klasik) karmaşıklık teorisine yardımcı olduğunu düşündüğümü merak etmeye başladım.

Karmaşıklık teorisini incelemek isteyen biri için hangi alanları gerekli görüyorsunuz? Bu alanları kapsayan iyi bir ders kitabı biliyor musunuz ve evet ise, lütfen zorluk seviyelerini (tanıtım, lisans vb.) Ekleyin.

Karmaşıklık teorisinde yoğun olarak kullanılmayan bir alanı düşünüyorsanız, ancak bunun TCS için kritik olduğunu düşünüyorsanız, lütfen ayrıca bakın.

Bu TCS StackExchange sorusunun cevaplarına bakarsanız, karmaşıklık teorisinde hemen hemen tüm matematik alanlarının önemli olabileceği ihtimalini göreceksiniz. Öyleyse, ilişkili görünmeyen bazı matematik alanlarıyla gerçekten ilgileniyorsanız, devam edin ve yine de inceleyin. Eğer karmaşıklık teorisi ile alakalı olursa, bunu anlayan birkaç karmaşıklık teorisyeninden biri olacaksınız.

Dexter Kozen'in hesaplama teorisi kitabını listene eklemelisin . Karmaşıklık teorisinin temellerini çok etkili bir şekilde kapsar ve kısa anlatım formatı mükemmeldir.

Matematiksel arka plan açısından, yukarıda belirtilenlere ek olarak:

• Olasılık teorisi
• Doğrusal cebir ve soyut cebir
• grafik teorisi
• temel mantık

Başlamak için bu konuların ustası olmanız gerektiğini düşünmüyorum, ancak kesinlikle belirli bir konfor seviyesine sahip olmanıza yardımcı oluyor.

A C $\bullet$ Ekstremal Kombinatorik kitabı , Stasys Jukna tarafından, karmaşıklık topluluğu içinde çok az tanınan IMO'dur. Bu, büyük ölçüde TCS'deki uygulamalarına dikkat edilerek yazılmış, çoğu zaman karmaşık olan harika bir kombinasyon teknikleri koleksiyonudur. Monoton ve devreli daha düşük sınırlar gibi ünlü sonuçlar da dahil olmak üzere bir dizi önemli karmaşıklık tekniği tartışılmıştır , ancak başka türlü karşılaşamayacağınız çok güzel sonuçlar. Ve çok fazla egzersiz var.$AC^0$

Bu (benim bildiğim kadarıyla) 'kombinatorikteki lineer cebir metodunu' derinlemesine işleyen tek yayınlanmış kitaptır - bilmesi gereken kaygan, güçlü bir araçtır. Babai ve Frankl taslak el yazması çok daha derinlere iniyor, ancak bu yayınlanmadı ya da çevrimiçi değil:

https://cs.uchicago.edu/page/linear-algebra-methods-combinatorics-applications-geometry-and-computer-science

$\bullet$ Muhtemelen bildiğiniz gibi, kombinatorikteki olasılıksal yöntem, karmaşıklık teorisinde bile merkezi önemdedir. Jukna'nın kitabı onu kapsar, ancak Alon ve Spencer'ın ünlü kitabı The Probabilistic Method tarafından daha derinlemesine (birçok güzel örnekle birlikte) işlenir .

Önceki cevaplar zaten temel cevapları sıraladı: olasılık teorisi, birleştirici, doğrusal cebir, soyut cebir (sonlu alanlar, grup teorisi, vb.).

Ekleyeceğim:

Fourier analizi , bakınız, örneğin, Ryan O'Donnel'ın kursu: http://www.cs.cmu.edu/~odonnell/boolean-analysis/

Kodlama teorisi , Madhu Sudan'ın kursuna bakınız: http://people.csail.mit.edu/madhu/coding/course.html

Bilgi teorisi , standart kitap Bilgi Teorisinin Öğeleridir: http://www.amazon.com/Elements-Information-Theory-Telcommunications-Processing/dp/0471241954

Ayrıca temsil teorisi, rastgele yürüyüşler ve daha pek çok şey unutmuşum ...

Temel şeyler dışında, muhtemelen:

• Kombinatorik - Kendinizi bir şeyleri düzenli aralıklarla saymaya başlayabilirsiniz.
• Stokastik - Ortalama vaka analizleri ve randomize algoritmalar için

Beton Matematik'i Knuth'dan seviyorum . Birçok önemli araç hakkında iyi bir genel bakış / temel bilgi verir.

Bir araç olarak işlev üretmeyi seviyorsanız (bakınız Wilf tarafından üretilen işlevbilim), karmaşık analiz de işe yarar .

Sanjeev Arora, bir lisans öğrencisi için (1. sınıf öğrencileri için), bir teori öğrencisinin bilmesi gereken çok sayıda temel materyale sahip olduğu “teorisyen araç seti” olarak adlandırdığı güzel bir belgeye sahiptir. Bunların birçoğunu öğrenmek için okula devam etmek için bekleyebilirsiniz, ancak size bilmeniz gerekenler ve önkoşullar hakkında iyi bir fikir verecektir.

TCS topluluğundaki başarılı araştırmacılar için kesinlikle evrensel olmasa da ortak bir paradigma şöyledir: Mantık, doğrusal cebir, olasılık, optimizasyon, grafik teorisi, birleştirici, temel soyut cebir gibi lisans düzeyinde birkaç temel bilgi. Bunun ötesinde, aylardır uğraştığınız bu sorunu çözmeniz gerektiğini ya da onun uğruna bir şeyler öğrenmekten gerçekten zevk alacağınızı düşünene kadar kendinizi başka bir şey öğrenmeye zorlamayın.

“Daha önce hiç görmediysem ihtiyacım olduğunu nasıl bilebilirim?” Diye soruyorsunuz? İyi soru. Bazen şanslı olursunuz ve hissedersiniz: "Biliyor musunuz, bu alt problem, Fred'in susturmayacağı dörtlü dönüşüm olayı gibi sesler ile uğraşmaya çalışıyorum. Fred'in sesini kesmem gerek. Bir odada ve bana temelleri hızlı bir şekilde çalıştırın. " Diğer zamanlarda, bir odadan kendinizden daha fazla sayıda bilgili kişiyi tuzağa düşürür, bir seminer konuşması veya başka bir şey söyleyerek söylersiniz ve Fred bu sorunun çözülmediğini söyleyene kadar bu sorunu nasıl çözemeyeceğinizi söylersiniz. Bunu Fourier Analizi ile çözebilirsiniz. Size nasıl olduğunu göstereyim. " Sonunda, Fred ile ortak bir makale alırsın, yeni bir şeyler öğrendin, ve Fred şu an en iyi arkadaşsınız ve her cumartesi akşamı içmeye gidiyorsunuz.

Bence faydalı olmayan bir matematik alanı listesi, bu alanların listesinden çok daha kısa olacaktır! Hiçbir şey düşünemiyorum.

Hangi matematiğin ilginç göründüğünü ve / veya şu anda ihtiyaç duyduğunuz şekilde çalışın. Doğrudan kullanmasanız bile, yaptığınız diğer şeyleri öğrenmenize yardımcı olur.

Temel matematik mantık bilgisi bence bir artı. Cori ve Lascar'ın iki kitabına bakabilirsiniz.

Matematiksel Mantık: Alıştırma Bölüm I

Matematiksel Mantık: Alıştırma Yapan Bir Ders II

Bu kitaplara bir göz atmanızı öneririm:

• Princeton'un Matematiğe Eşlikçisi
• Bilgisayar Biliminde Mantık; Sistemlerde Modelleme ve Akıl Yürütme

Ayrıca, MFCS (Bilgisayar Biliminin Matematiksel Temelleri) konferansındaki konular, sizin ne tür bir arka plana ihtiyacınız olabileceğine yol açabilir. (Caveat: konferansta son derece gelişmiş konular var. Onlara hakim olmanıza gerek yok. Sadece büyük resmi yakalamaya çalışın.)

Sayı teorisinden söz edilmedi, ancak birçok şifreleme ve karmaşıklık teorik yapıları için çok önemli bir araç.

Sonlu grupların temsil teorisi (ayrıca sonlu alanlar üzerinde), aşağıdakiler de dahil olmak üzere çeşitli görevler için şaşırtıcı şekilde yararlı olabilir:

• matris çarpım algoritmaları ( Cohn - Kleinberg-Szegedy-Umans )

• yerel olarak kodlanabilir kodların oluşturulması (örneğin , Klim Efremenko'nun bu makalesine bakınız)

• kuantum hesaplamada uygulamalar (ababelik olmayan gruplar için Gizli Alt Grup Problemi, çarpımsal rakip yöntem)

$S_n$

Garey ve Johnson'ın kitabını okumanı tavsiye ederim.

Bilgisayarlar ve Uyumluluk: NP-Tamamlanma Teorisine Bir Kılavuz .

Bu çok az matematiksel arka plan ile okunabilir. Bence bu kitap okumaktan zevk alıyor, Papadimitriou ve Arora / Barak üzerine ilk kitap olarak tavsiye ederim. Bunu okuduktan sonra, diğer kitaplara dalabilir ve ilgilendiğiniz gelişmiş konuları anlamak için ihtiyacınız olan çeşitli matematik parçalarını belirleyebilirsiniz.

Bir zamanlar UWaterloo CS’daki CS464’teki (2002) lisans dersi Christos H. Papadimitriou’nun Hesap Karmaşıklığı , Addison-Wesley, 1994’i kullandı .

Listelenen arka plan başlıkları arasında Turing makineleri, kararsızlık, zaman karmaşıklığı ve NP eksiksizliği bulunur.

Arka plan için, QA267.G57 yakınındaki kütüphanenize göz atın (Goddard's hesaplama teorisini, hızlı bir okuma veya iki okumaya dayanarak tanıtmak ve bana uygunluğu, arka planın CS tarafını kapsıyor gibi görünüyor; saf matematik tarafından teorisi de faydalı olacaktır.)