Sekreter işe alma oyunu

Bu klasik sekreter sorununun bir uzantısıdır .

İşe alım oyununda bir takım adaylarınız var $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$ve her bir çalışanın ne kadar yetenekli olduğuna dair sipariş.

Wlog, varsayıyoruz ki $c_1$ en yetenekli olanı, ardından $c_2$, vb.

Adayların görüşme sırası rasgele olarak eşit olarak seçilir ve işverenler tarafından (açıkça) bilinmemektedir.

Şimdi 2 potansiyel işverenle bir pazarınız olduğunu varsayalım. Her turda her iki şirket için yeni bir aday görüşüyor (onları arayın)$A,B$). Görüşme sırasında her ikisi de$A$ ve $B$mevcut görüşmeci de dahil olmak üzere, geçmiş tüm adayların kısmi düzenini gözlemlemek. Firmalar daha sonra (bağımsız olarak) bugünün başvuranını işe alıp almayacağına karar verirler.

İçin ne yazık ki $B$ile finansal olarak rekabet edemez $A$teklifi, yani her ikisi de bir işçi için teklifi uzatırsa, $A$ tercih edilir.

Ayrıca, bir sekreter imzaladıktan sonra şirket başka adaylarla görüşemez ve yarışmacı imzalamanın farkına varır .

Her şirketin amacı, daha iyi sekretere sahip şirketin, Market.

Büyük firma olarak en uygun strateji nedir ($A$)?

Küçük şirket ne olacak ($B$)?

Her iki şirket de denge stratejilerini oynarsa, olasılık nedir $B$ daha iyi çalışan alır?

---

Bir de ilgili çalışmaları , Kalai ve diğ. Her iki şirketin de aynı adayları çekme gücüne sahip olduğu bu sorunun simetrik versiyonunu tartışıyor.

Bu ortamda, basit (simetrik) denge, kalan adaylardan en az% 50 daha iyi olma şansına sahip bir sekreter kiralamanızdır.

Bu sonuç ortamımızda nasıl değişiyor?

Şirket için $A$/ firma / dev şirket / "büyük ilaç" / "THE MAN", strateji simetrik versiyondan değişmez:

Daha sonra sadece daha az aday görme olasılığının olduğu bir raundu düşünün $> .5$. Eğer şirket$A$ adayı tutar, o zaman kazanma şansı vardır $> .5$. Eğer$A$ adayı tutmaz, sonra şirket $B$ adayı ve şirketi işe alabilir $A$ kazanma şansı var $< .5$. Açıkçası, şirket$A$ kiralamak (ve şirket $B$ işe almaya çalışır).

Kazanma şansı tam olarak olan bir aday için $.5$, $A$ kiralamayı seçebilir veya seçmeyebilir, ancak $B$ işe almayı tercih eder çünkü $B$ asla oranlardan daha iyi olamaz $.5$.

Eğer şirket $A$ kazanma şansı olan bir aday görmeden önce işe alındı $>= .5$, daha sonra gelecekteki daha iyi bir adayın (ve dolayısıyla $B$ kazanan) olurdu $> .5$. Yani$A$ kazanma ihtimali olan bir aday görene kadar işe alınmayacak $>= .5$.

Bu nedenle, $A$stratejisi simetrik durumla aynıdır: kazanma şansı veren ilk adayı işe al $> .5$.

$B$o zaman stratejisi $A$aklındaki strateji. Açıkçası, eğer$A$ önce (ya da) işe alır $B$, sonra $B$stratejisi bir sonraki adayı daha iyi işe almaktır. $A$varsa. Ayrıca, bir aday kazanma şansı ile gelirse$> .5$, $B$ olsa da işe almaya çalışmalı $A$ ayrıca işe almaya (ve zorlamaya $B$ bakmaya devam etmek).

Geriye kalan tek soru şudur: $B$ kazanma şansı olduğunda işe almak $<= .5$. Cevap Evet.

Sezgisel olarak, adayla kazanma ihtimalinin olduğu bir tur olduğunu varsayalım $.5 - \epsilon$. Ayrıca, kazanma ihtimali olan gelecekteki bir aday "daha sonra açıklanacaktır" (daha sonra açıklanacaktır) vardır$> .5 + \epsilon$. Sonra faydası olur$B$ önceki adayı seçmek için.

İzin Vermek $d_r$ turda mülakat yapan aday olun $r$ hepsi için $1 <= r <= N$.

Resmi olarak, $B$'ın stratejisi: "kiralama $d_r$ eğer bunu yaparsanız kazanmamanızdan daha iyi kazanma şansı elde edersiniz ".

İzin Vermek $p_{r,i}$ görüşme ve işe alma sonrası kazanma olasılığı $d_r$ verilmiş $d_r$ bu $i$en iyi görüşülen aday. Sonra:

$p_{r,i} =$ olasılık $d_s < d_r$ için $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

Özellikle, $p_{r,i}$ sabit doğrulukla kolayca hesaplanabilir.

İzin Vermek $P_{B,r}$ olma olasılığı $B$ hiçbir şirketin mermi kiralamaması durumunda kazanır $1$ vasıtasıyla $r-1$.

Sonra $B$ işe alır $d_r$ işe alımdan sonra kazanma olasılığı $d_r$ daha iyi $P_{B,r+1}$.

Bunu not et $P_{B,N} = 0$çünkü son tursa, o zaman $A$ kiralanması ve $B$ kimseyi işe almayacak ve kaybedecek.

Sonra, yuvarlak $N-1$, $B$ kiralamayı denediğinden emin olunur ve başarılı olmazsa $A$kiralar. Yani:

$$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$$

Hangi özyinelemeli işleve yol açar:

$$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$$

Oldukça açık $P_{B,r}$polinom zamanında sabit doğrulukta hesaplanabilir. Son soru şudur: "olasılığı nedir$B$ cevap? " $P_{B,1}$ ve ile değişir $N$.

Ne sıklıkta olduğu sorusuna gelince, $B$kazanmak? Tam olarak hesaplamamıştım ama$N$ 1'den 100'e kadar, $N$ büyür, $B$kazanma oranı .4 ya da öylesine yaklaşır. Ben sadece kontrol etmek için hızlı bir python betiği yaptım ve kayan sayılarla yuvarlama hatalarına dikkat etmediği için bu sonuç kapalı olabilir. Gerçek sert sınırın .5 olması çok iyi olabilir.