Tersinir geçitlerin sınıflandırılması

1941'de Emil Post tarafından tarif edilen Post'un kafes yapısı temel olarak kompozisyon altında kapalı olan Boolean fonksiyon kümelerinin tamamlanmış bir diyagramıdır: örneğin, monoton fonksiyonlar, GF (2) üzerindeki lineer fonksiyonlar ve tüm fonksiyonlar. (Post, 0 ve 1 sabitlerinin ücretsiz olarak kullanılabileceğini varsaymadı, bu da kafesini aksi olacağından çok daha karmaşık hale getirdi.)

Benim sorum, Toffoli ve Fredkin kapıları gibi klasik geri dönüşümlü kapılar için benzer bir şey yayınlanmış olup olmadığıdır . Yani, {0,1} ⁿ üzerindeki hangi geri dönüşümlü dönüşüm sınıfları bazı geri dönüşümlü kapılar topluluğu tarafından üretilebilir? 0 olarak ancilla bit sınırsız sayıda, önceden belirlenmiş bazı izin var ve diğerleri, 1 önceden: Burada kurallar vardır sürece tüm ancilla bitleri {0,1} sizin dönüşümü kez başlangıç ayarlarına döndürülür olarak ⁿ ise bitmiş. Ayrıca, 2 bitlik bir SWAP (yani, endekslerinin yeniden etiketlenmesi) her zaman ücretsiz olarak kullanılabilir. Bu kurallar uyarınca, öğrencim Luke Schaeffer ve ben şu on dönüşüm kümesini tespit edebildik:

Boş seti
NOT geçidi tarafından oluşturulan küme
NOTNOT tarafından üretilen set (yani bitlerin hiçbirine uygulanan NOT DEĞİL kapıları)
CNOT tarafından oluşturulan set (yani, Kontrollü-NOT kapısı)
CNOTNOT tarafından üretilen set (yani, 1. bit olan 2. ve 3. bitleri çevirin)
CNOTNOT tarafından üretilen ve NOT
Fredkin (yani, Kontrollü-SWAP) kapısı tarafından üretilen set
Fredkin ve CNOTNOT tarafından üretilen set
Fredkin, CNOTNOT ve NOT tarafından üretilen set
Tüm dönüşümlerin seti

Kalan aileleri tespit etmek ve sınıflandırmanın tamamlandığını ispatlamak istiyoruz - ancak üzerinde çok zaman harcamamızdan önce, birisinin daha önce yapıp yapmadığını bilmek istiyoruz.

circuit-families

— Scott Aaronson
kaynak

NOTCSWAP kontrollü bir takas gibidir ancak c argümanı 0 olduğunda x, y argümanlarını değiştirir (c CSWAP'ta olduğu gibi 1 yerine geçmek yerine), x, y argümanlarını değiştirirse, NOTCSWAP ve (CSWAP, NOTCSWAP) eksik mi? Tüm Hamming ağırlık koruma izinlerini almak için ikisine birden ihtiyacınız var: CSWAP yalnızca Hamming ağırlık ≥2 vektörlerine izin verirken NOTCSWAP sadece Hamming ağırlık ≤n-2 vektörlerine izin verir.

— David Eppstein

Ayrıca (önceki yorumda yer kalmadı) daha fazla sayıda kontrol bitinin sıfır veya sıfır olması gerekmemesi durumunda, Hamming ağırlık koruma izinlerinin daha da alt kümelerini elde edebilirsiniz, sadece Hamming ağırlığına en az veya en fazla rastgele bir şekilde izin veren vektörler ciltli. Dolayısıyla bu sayılabilir bir şekilde birçok dönüşüm sınıfı verir.

— David Eppstein

Teşekkürler, David - ama tam olarak bu tür "sapkınlıkları" dışlamak için 0 ve 1 asilin ücretsiz olarak kullanılabileceğini varsaydım. Öyle değil mi?

— Scott Aaronson

Let Hamming ağırlığı modülo koruyarak tüm permütasyon sınıfı olmak . Ardından karşılar sizin gereksinimleri ve IFF : ait noninclusions başka yerde şahit olan -ary fonksiyonu st , ve için . Özellikle, tüm bu sonsuz sayıda sınıf farklıdır.

C_{n}

$C_n$

n

$n$

C_{n}

$C_n$

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$

m | n

$m|n$

C_{n}

$C_n$

n

$n$

f_{n}

$f_n$

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$

f (x) = x

$f(x)=x$

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$

— Emil Jeřábek,

Bu fikirlerin cilalandığı ve aşağıdaki Emil'in cevabını referans alan eccc.hpi-web.de/report/2015/066 makalesine bakın.

— András Salamon

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ Bu bir dualitenin yarısı sunumudur tersinir dönüşümler için, standart klon-klon-ikilik ikiliğine benzer ( burada olduğu gibi ). Soruyu cevaplamıyor, ancak bu gibi fonksiyonların tüm kapalı sınıflarının belirli bir formun özelliklerinin korunmasıyla belirlendiğini gösteriyor.

Standart durumun aksine, ana komplikasyon permütasyonların sayılabilirliği (kardinaliteyi koruyorlar), bu nedenle değişmezlerinin bunu hesaba katmak için biraz aritmetik kullanmaları gerekir.

Bazı geçici terminoloji ile başlayalım. Sonlu bir temel seti sabitleyin . (Klasik davada Scott, hakkında sorar . Tartışmanın bölümleri, aynı zamanda, sonsuz için de çalışır , ancak ana karakterizasyon değildir.) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

Bir dizi permütasyon (veya: geri dönüşümlü dönüşüm), bir alt küme , burada , permütasyon grubunu belirtir. . Bir permütasyon klon permütasyon bir dizi şekildedir $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

Her bir kompozisyon altında kapatılır. $\cC\cap\sym(A^n)$

Herhangi bir , tarafından tanımlanan içinde . $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

Eğer ve , tarafından tanımlanan içinde . $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

Bu yana sonlu, 1 aracı bir alt grubudur . OP, sadece transpozisyonlar için 2 talep ediyor , ancak buradaki sürüm açıkça eşdeğerdir. Koşul 3, yukarıdaki yorumlarda yapay değişkenlerin tanıtımı olarak adlandırdığım şeye eşittir. $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

Bir ana klon , ancillasın tahsis edildiği bir permütasyon klonudur:

Let , , ve gibi olması tüm için . Sonra , anlamına gelir . $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

Permütasyon klonları ve ana klonları belirli değişmezler tarafından karakterize etmeyi amaçlıyoruz. İlk önce da birkaç örneği örnekleyerek motive edeyim : $A=\{0,1\}$

Hamming ağırlığını koruyan permütasyonların ana klonu (Fredkin kapısı tarafından üretilir). Eğer anlamına gelir dahil içinde , bu permütasyon özelliği ile karakterize edilir burada ve ben yazıyorum . $w$ $\{0,1\}$ $\N$
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
Hamming ağırlık modulo sabit koruyan permütasyonların ana klonu , yorumlarda belirtilmiştir. Biz yorumlama, bu, yukarıdaki ile aynı formülü ile karakterize edilir bir fonksiyonu olarak siklik grubu , ve bir miktar vardır hesaplamak. $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
Afin permütasyonlarının ana klonu , , (CNOT tarafından üretilir). Kolayca kontrol eder (ya da Post davasından bilir), tek bir çıktı işlevinin nin, . Böylece, tanımlarsak ile bir klonunda yani biz monoid toplamları ile uğraşıyoruz $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$ .)

Genel olarak, bir ağırlık fonksiyonu bir eşleme , ve bir değişmeli monoid olup. Bir ana ağırlık işlevi , tüm köşegen çubuklarını , ile ters çevrilebilir öğelerine eşleyen işlevdir . Let tüm ağırlık fonksiyonlarının sınıfını gösterir ve usta ağırlık fonksiyonları. $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

Eğer , ve bir ağırlık fonksiyonu olduğu için, demek bir olduğu değişmez , ya da (sersemce terminolojisini) a, polimorfizm , ve aşağıdaki koşul herkes için geçerliyse : $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Eğer , o zaman $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

Burada, , ve benzer şekilde . Diğer bir deyişle, ise (ya da daha doğrusu kendi paralel uzantı ) toplamını korur bağımsız değişkenler -weights. $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

İlişki arasına ve (veya ) permütasyon setleri arasında bir Galois bağlantı neden ve kilo fonksiyonlarının sınıfları : her zamanki yolla ve böylece kapalı permütasyon kümelerinin tüm kafesleri ve kapalı (ana) ağırlık fonksiyon sınıfları arasında ikili izomorfizm. Doğru yolda olduğumuzu görmek için, kapalı permütasyon setlerinin gerçekten klonlar olduğunu gözlemliyoruz: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

Lemma: Eğer , daha sonra bir permütasyon klonudur. Eğer , o bir ana klonudur. $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

İspat: İlk iddia az çok açıktır. İkincisi, , koşul 4'deki gibi olsun, olsun ve tanımında olsun. . Koyun , ve . Sonra , Bununla birlikte, cinsinden ters çevrilebilirdir, çünkü bir ana ağırlık işlevidir, dolayısıyla $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

Daha ileriye gitmeden önce, bir sorunu çözmemiz gerekir: monoidler büyük olabilir , bu nedenle bu formun değişmezlerinin faydasız soyut saçmalıklardan şüphelenilebilir.

İlk olarak, bir ağırlık fonksiyonu verildiğinde , nin (ve ana durumdaki diyagonal elemanların görüntülerinin ilave tersi tarafından oluşturulduğunu varsayabiliriz . resme girmeyin. Özellikle, bir sonlu oluşturulur . İkinci olarak, genel cebir genel sonuçları, yazabiliriz bir subdirect Ürün, her subdirectly indirgenemez ve bir bölüm olan yolu ile inci ürün projeksiyon $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$ ; özellikle, hala son derece üretilmiş bir değişmeli monoiddir. Mal'cev'in bir sonucu olarak, fg alttan indirgenemez değişmeli değişmeli monoidler (veya yarı gruplar) aslında sonludur . Eşleme ana ise, yine bir ağırlık fonksiyonu olduğu ve görmek kolaydır Bu nedenle, genelliği kaybetmeden arasındaki ağırlık işlevlerine dikkatini kısıtlayabiliriz ; burada sonludur ve alttan indirgenemez. Let gibi ağırlık işlevleri sınıf olarak, Satış

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$ Sonlu, doğrudan yönlendirilemez indirgenebilir değişmeli monoidlerin örnekleri, siklik gruplar ve kesilmiş ilave monoidlerdir . Genel durum daha karmaşıktır, ancak yine de kişi yapısı hakkında çok şey söyleyebilir: her biri bir nin ayrık bir birliği ve bazı özelliklere sahip sonlu bir nilemigrup olarak kesin bir şekilde yazabilir . Detaylar için Grillet'e bakınız.

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

Şimdi bu yazının ana noktası için hazırız:

Teorem: Galois bağlantısındaki sınırlı sayıda indirgenemez (ana) ağırlık fonksiyonuna bağlı kapalı permütasyon kümeleri tam olarak permütasyon klonlarıdır (ana klonlar, sırasıyla).

Kendisine, eğer daha sonra tarafından üretilen permütasyon klon olan , ve üretilen ana klon olan . $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

İspat: Yukarıdaki tartışmaya göre, eğer bir permütasyon klonu ise ve ise, değişmez bir göstermek yeterlidir arasında bu şekilde ve bir sunar bir kalıp ağırlık fonksiyonu olarak bir ana klonudur. $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

koyun ve , tarafından üretilen serbest monoid (örneğin, alfabesinin üzerindeki sonlu kelimeler ). Bir ilişki tanımlamak üzerinde ile (eşit olmayan uzunlukta Kelimeler ile ilgili hiçbir zaman .) her birinin, bir gruptur, aslında, uzunluğu kelime, kendi restriksiyon (bir denklik ilişkidir sadece yörünge denklik ilişkidir hareket açıkça $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$ ). Dahası, bir monoid eşleşmesidir: eğer ve , olduğuna tanık olur ve , sırasıyla, sonra tanık .

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

Böylece bölüm monoid . Değişim her için tanık olur ; yani, commute'nin jeneratörleri , dolayısıyla commutatiftir. Bir ağırlık fonksiyonu tanımlama doğal dahil olarak olarak bölüm harita ile oluşan. $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

i görmek kolaydır : gerçekten, eğer ve , sonra , tanımına göre ( tanımındaki gösterimi kullanarak ). Öte yandan, olduğunu varsayalım . Let numaralandırılmasıdır olmak , ve izin için , tanımındaki gibi tekrar olsun . Sonra $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ dolayısıyla tanım ve , vardır bu şekilde her biri için . Bununla birlikte, egzozu , bu , yani anlamına gelir , bir çelişki. Bu permütasyon klonları için kanıtı tamamlar.

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

Bile bir ana klonu, ihtiyaç aslında, çapraz elemanlar, zorunlu olarak daha cancellative değildir, bir ana ağırlık fonksiyonu vermeye dolayısıyla düzeltmek gerekir. Her biri için , izin ve yeni bir eşdeğerlik ilişkisini tanımlayan ile ile Gerçeğini Kullanmanın unsurları olduğunu gidip modülo , o göstermek kolaydır yine kongurent olduğunu dolayısıyla biz Monoid oluşturabilir $\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ ve bir ağırlık fonksiyonu . Yana uzanan , değişmeli ve bir bölüm ; özellikle, . Diğer yandan, eğer , daha sonra aynı argüman birlikte yukarıda tanımı gibi olur vermek bir ve bu şekilde tüm , böylece olarak bir ana klon, çelişkidir.

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

tanımı, , tüm ve için gelmesini sağlar . öğelerinin iptal edici olduğunu izler . Herhangi bir değişmeli monoidin, tüm iptal edici öğelerin tersinir hale geldiği başka birine gömülebildiği kolay bilinen bir gerçektir. ile böyle bir gömme bileşimi , o zaman bir ana ağırlık işlevi ve , dolayısıyla . QED $\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

EDIT: Yukarıdaki klon-klon ikileminin genelleştirilmesi şimdi yazılmıştır.

[1] E. Jeřábek, çoklu çıktı işlemleri için Galois bağlantısı , ön baskı, 2016, arXiv: 1612.04353 [math.LO] .

— Emil Jeřábek Monica'yı destekliyor
kaynak

Bu konuyu yazmak için harcadığınız çaba için çok teşekkürler! Klonların ve evrensel cebirin dili benim için oldukça soyut olduğu için onu sindirmek zaman alacak (aslında, bu literatürü geçmişte okumaya çalıştığımda tökezleyen bir bloktu). Fakat klonları somut olarak hesapladığımızda, aslında bildiğimiz tüm örnekler gibi hepsinin değişmezler tarafından tanımlanacağını bilmek faydalıdır. (Bu arada, görmek, demek ki, Fredkin + değişmez bir karakteristik olarak nitelendirilmiyor, sanırım girdi çiftlerine bakıyoruz ve her dönüşümün kendi paritelerinin toplamını koruduğunu söylüyoruz?)

— Scott Aaronson

Bu arada, somut soru hakkında rapor vermeye devam ettim. Kafes içindeki tüm noktaları Fredkin kapısının üstündeki sınıflandırabildim: tek olasılık, herhangi bir k için Hamming ağırlık modunu koruyan dönüşümler, Hamming ağırlık mod 2'yi koruyan veya çeviren dönüşümlerdir (Fredkin + tarafından üretilmiştir). NOT) ve tüm dönüşümler. Ayrıca CNOTNOT üzerindeki kafesin tüm noktalarını da belirleyebilirim: bunlar sadece OP'de listelediklerim (CNOTNOT + NOT, CNOT, Fredkin + NOTNOT, Fredkin + NOT, her şey).

— Scott Aaronson

Evet, Fredkin + NOT için , . Güncelleme için teşekkürler, bu çok iyi geliyor.

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— Emil Jeřábek,

Umut, elbette ki değişmezlerin pratikte ispattan düşenden çok daha küçük olmalarıdır. (Post durumda, olabilecek en olduğuna inanıyorum .) Galois bağlantısı doğrudan somut sınıflandırmaya yardımcı olmuyor, daha çok metodolojik bir araç. İlk olarak, ne tür özelliklerin aranacağını bilirse önceden tanımlanmamış sınıfları bulmak daha kolay olabilir. İkincisi, Post'un sınıflandırmasının ispatı içindeki tipik bir adım aşağıdaki gibidir. Kafesin ortasında bir yerde sınıfına ulaştık ve üstündeki sınıfları tanımlamak istiyoruz. ...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— Emil Jeřábek

... değişmez ilişkileri . Daha sonra, herhangi bir uygun bir uzantısı, bazı korumayan bir içermelidir ve genellikle , kompozisyon vb. Bu yolla, biri kesinlikle üzerindeki her sınıfın , bazı için tarafından oluşturulan sınıfı içerdiği şekilde bir listesi alır ve biri bunun üzerindeki kafes kısmına ilerleyebilir. . Bunun genel yazışmalara ihtiyacı yoktur, ancak birinin karşılaştığı belirli sınıfların değişmezlerini bilmek.

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$

— Emil Jeřábek