Lipton'ın en etkili sonuçları

Richard J. Lipton , “Yeni Fikir ve Tekniklerin Tanıtımı” adlı 2014 Knuth Ödülü'nü kazanan seçildi .

Lipton'un geliştirdiği yeni ana fikir ve teknikler neler?

Not. Bu soru topluluk wiki olacaktır, lütfen cevap başına böyle bir fikir, teknik veya sonuç koyun.

Düzlemsel Ayırıcı teoremi bildiren herhangi bir düzlemsel -vertex grafiktir G bir dizi vardır O ( $n$$G$çıkartılması grafiği en az iki kabaca dengelenmiş bileşene ayrılmış halde bırakan köşeler. Ayrıca, böyle bir küme doğrusal zamanda bulunabilir. Lipton ve Tarjan tarafından kanıtlananbu (sıkı) sonuç(Ungar tarafından önceki bir sonucu iyileştirerek) düzlemsel grafikler üzerinde algoritmalar tasarlamak için güçlü bir araçtır. NP zor problemler ve gelişmiş polinom zaman yaklaşımı algoritmaları için birçok kesin subexponential zaman algoritması verir. Baktığımızdawikipedia sayfasısayısız uygulamaları keşfetmek için iyi bir başlangıç yer sağlar. Birerken anketuygulamaları bir dizi detayları ile 1980 yılında Lipton ve Tarjan tarafından yazılmıştır.$O(\sqrt{n})$

Karp-Lipton Teoremi , Polinom hiyerarşisi ikinci seviyeye çökmediği sürece polinom boyutunda boolean devrelere sahip olamayacağınıbelirtir.$\mathsf{NP}$

Bu teorinin karmaşıklık teorisi için iki çıkarımı:

• muhtemelen polinom büyüklüğünde boole devrelerine sahip değildir; Devre boyutlarına daha düşük sınırlar koymak bu nedenle karmaşıklık sınıflarını ayırmak için olası bir yaklaşımdır.$\mathsf{NP}$
• Karmaşıklık sınıfları ayrımlarını kanıtlamak için bu teoremi temel alan birkaç sonuç (örneğin Kannan Teoremi).

Kalıcı Rasgele Kendini Azaltma . Lipton gösterdi bir algoritma mevcut ise doğru daimi hesaplar o her bir fraksiyon F , n x n , F sonlu büyüklüğü alan en az bir 3 , n , o zaman bu algoritma olarak kullanılabilir yüksek olasılıkla herhangi bir matrisin kalıcılığını hesaplamak için kara kutu .$1-1/(3n)$$\mathbb{F}^{n\times n}$$\mathbb{F}$$3n$

Ana fikir, kalıcıın düşük dereceli bir polinom olduğu, yani tek değişkenli afin işlevi olan kompozisyonu düşük dereceli tek değişkenli bir polinomdur ( x cinsinden ) ve enterpolasyon yoluyla tam olarak az sayıda değerden öğrenilebilir . Rasgele bir B seçebilirsiniz, böylece kompozisyon herhangi bir x için rasgele bir matrisin kalıntısı olarak dağıtılır . At x = 0 tek değişkenli polinom sadece daimi olan A . Detaylar Arora Barak'ın 8. Bölümünde bulunabilir .$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

Bu cebirsel yaklaşım karmaşıklık teorisinde son derece etkili olmuştur. Lipton'un fikirleri sonunda IP = PSPACE teoreminin ispatı, PCP teoreminin ispatı ve yerel hata düzeltme kodları ile sonuçlandı.

Aşağıdaki açıklamanın tarihsel olarak doğru olup olmadığından% 100 emin değilim. Değilse, lütfen düzenlemek veya kaldırmak için çekinmeyin.

Mutasyon testi Lipton tarafından icat edildi. Mutasyon testi , bir test odasının kalitesini veya etkinliğini ölçmenin bir yolu olarak görülebilir. Temel fikir, test edilecek programın içine hataları enjekte etmek (yani programı değiştirmek), tercihen bir insan programcısının yapması muhtemel olan hata türlerini ve test grubunun verilen hataları bulup bulmadığını görmek. Tipik bir hata mutasyon testi türünün örneği, x> 0 ile x <0'ı değiştirmek veya x ile x + 1 veya x-1'i değiştirmek olabilir. Test grubunun yakaladığı hataların oranı, test grubunun "mutasyon yeterlilik puanı" dır. Çok gevşek konuşan, bunu mutasyon yeterlilik skorunu hesaplamak için Monte-Carlo yöntemi olarak düşünebilirsiniz.

Daha soyut bir ifadeyle, mutasyon testinin bir programla test süitleri arasında simetri veya dualite sağladığını söyleyebiliriz: test paketi sadece bir programın doğruluğu konusunda daha emin olmak için kullanılamaz, aksine bir program olabilir. Bir test odasının kalitesi hakkında güven kazanmak için kullanılır.

Bu dualitenin ışığında, mutasyon testleri de kavramsal olarak fay enjeksiyonuna yakındır . Her ikisi de teknik olarak benzer fakat farklı amaçları var. Mutasyon testi, test grubunun kalitesini ölçmeyi amaçlarken, hata enjeksiyonu programın kalitesini, genellikle hata işleme kalitesini belirlemeye çalışır.

Son zamanlarda, mutasyon testinden elde edilen fikirler, mantıksal teorilerin formalizasyonu için kullanılmıştır. (4) 'ün özetini anlatmak için: Bir teorem ispatçısında önemsiz formalizasyonlar geliştirirken, spesifikasyon ve teoremlerin “hata ayıklanması” için önemli bir zaman ayrılmıştır. Tipik olarak, başarısız ispat girişimleri sırasında yanlış spesifikasyonlar veya teoremler keşfedilir. Bu pahalı bir hata ayıklama şeklidir. Bu nedenle ispat almadan önce varsayımları test etmek genellikle yararlıdır. Bunu yapmanın olası bir yolu, varsayımın serbest değişkenlerine rastgele değerler atamak ve sonra değerlendirmektir. (4) kullanılan test durumundaki üreticilerin kalitesini test etmek için mutasyonlar kullanır.

Geçmiş . (1) 'den itibaren mutasyon testinin tarihi, Richard Lipton [19]' a ait bir öğrenci makalesinde […] Alanın doğuşu, 1970'lerin sonunda Lipton ve arkadaşları tarafından yayınlanan diğer makalelerde de tanımlanabilir. (2) yanı sıra Hamlet (3).

1. Mutasyon Testleri Deposu: Mutasyon Testleri Teorisi .

2. RA DeMillo, RJ Lipton, FG Sayward, Test Verisi Seçimine İlişkin İpuçları: Uygulama Programcısı için Yardım .

3. RG Hamlet, Derleyici Yardımıyla Test Programları .

4. S. Berghofer, T. Nipkow, Isabelle / HOL'da rastgele testler. .

Schwartz - Zippel - DeMillo-Lipton Lemma , aritmetik karmaşıklıkta temel bir araçtır: Temelde, bir aritmetik devrenin sıfır polinomunu temsil edip etmediğini bilmek istiyorsanız, ihtiyacınız olan tek şey, bir giriş üzerindeki devreyi değerlendirmek olduğunu belirtir. Daha sonra, devre sıfır polinomunu temsil etmiyorsa, iyi bir olasılık ile sıfır olmayan bir değer elde edersiniz.

Bu özellikle önemli bir lemmadır, çünkü bu problem için hiçbir polinom-zaman deterministik algoritması bilinmemektedir.

Lemma genellikle Schwartz-Zippel Lemma olarak bilinir . Bu lemmanın bir geçmişi, Lipton'ın kendi blogunda bulunabilir .

Vektör toplama sistemlerinde işlenebilirlik EXPSPACE-zordur : RJ Lipton'da , Ulaşılabilirlik problemi üstel bir alan gerektirir , Araştırma raporu 63, Yale Üniversitesi, 1976.

$d$$\langle v_0,A\rangle$$v_0$$\mathbb{N}^d$$A$ is a finite set of vectors of integers included in $\mathbb{Z}^d$. A VAS defines a transition system over configurations in $\mathbb{N}^d$ where $v\to v'$ if there exists $u$ in $A$ such that $v'=v+u$ (note that no component of $v'$ can be negative). The coverability problem, given a VAS and a target vector $v$ in $\mathbb{N}^d$, asks whether there exists an execution $v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$ of the VAS such that $v_n\geq v$ for the product ordering over $\mathbb{N}^d$, i.e. $v_n(i)\geq v(i)$ for all $1\leq i\leq d$. Combined with an EXPSPACE upper bound proven by C. Rackoff in 1978, Lipton's result shows the completeness for EXPSPACE.

This result, as recounted on Lipton's blog, still provides the best known lower bound on the (seemingly? much harder) reachability problem, where one requires instead $v_n=v$. Interestingly, it was proven before reachability was shown decidable. The lower bound and the technique employed to prove it have been reused countless times in relation with various classes of counter systems, and indirectly for other classes of systems or logics.

Multiparty communication complexity and the Number-on-Forehead model were introduced by Ashok K. Chandra, Merrick L. Furst and Richard J. Lipton in Multi-party Protocols, STOC 1983, doi:10.1145/800061.808737.

The multiparty model is a natural extension of Yao's two-party model of communication complexity, where Alice and Bob each have non-overlapping halves of the input bits, and want to communicate to compute a predetermined function of the whole input. However, extending the partition of the input bits to more parties is often not very interesting (for lower bounds, one can usually just consider the first two parties).

Instead, in the NOF model $k$ parties each know all except one number from a set of $k$ integers, with the number not known to the party notionally "displayed on their forehead" for the other parties to see. Nowadays the numbers are usually required to be non-negative integers represented using at most $n$ bits. The parties want to compute some pre-arranged Boolean function of all the numbers. The question is: for which functions can this be done efficiently?

It is always possible to just send $n$ bits (for instance, by the second party telling the first party the number on its forehead).

The paper gives a non-trivial but essentially optimal protocol for the function Exactly-$N$, which is true when the sum of the $k$ numbers is $N$. In particular, $k=3$ parties can determine Exactly-$N$ using $O(\sqrt{\log N})$ bits. Since $N \le k(2^n-1)$, this is $O(\sqrt{n})$ bits. The lower bound argument is Ramsey-theoretic, via a multidimensional form of Van Der Waerden's theorem.

The NOF model has been used in much subsequent work in circuit complexity: multiparty communication lower bounds naturally translate into circuit lower bounds. One classic example is the link made by Håstad and Goldmann in 1991 (doi:10.1007/BF01272517 between fixed-depth threshold circuits of polynomial size, and the multiparty NOF communication complexity of the Inner Product function: a nontrivial lower bound for IP with a more than logarithmic number of parties would yield circuit size lower bounds for TC$^0$.

In the original paper the multiparty model was linked to branching program lower bounds, yielding that any constant-space branching program for Exactly-$N$ requires superlinear length.