Köşe kümesinde denklik ilişkisi olan grafik izomorfizması

Renkli bir grafik tuple olarak tanımlanabilir $(G,c)$ nerede $G$ bir grafik ve $c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$renklendirmedir. İki renkli grafik$(G,c)$ ve $(H,d)$ bir izomorfizm varsa izomorfik olduğu söylenir $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ renklendirmeye uyulması, yani $c(v) = d(\pi(v))$ hepsi için $v \in V(G)$.

Bu düşünce, renkli grafiklerin izomorfizmini çok sıkı bir şekilde yakalar. Aynı bölgeye ait iki siyasi haritanız olduğu ancak farklı renk kümeleri kullandıkları durumu düşünün. Eğer biri aynı şekilde renklendirilip renklendirilmediğini sorarsa, bunun iki renk kümesi arasında iki haritanın renklerinin bu eşleme ile çakışacağı şekilde iki yönlü bir eşleme olup olmadığı anlamına geleceğini varsayar. Bu kavram, renkli grafikleri bir demet olarak tanımlayarak resmileştirilebilir.$(G,\sim)$ nerede $\sim$ 'nin tepe kümesi üzerinde bir denklik ilişkisi $G$. Sonra böyle iki grafik söyleyebiliriz$(G,\sim_1)$ ve $(H,\sim_2)$ bir izomorfizm varsa izomorfiktir $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ öyle ki tüm çiftler için $v_1,v_2 \in V(G)$ bunu tutar

Benim sorum, bu kavramın daha önce kanonik formlar bulmak vb.

Açıkladığınız sorun kesinlikle dikkate alındı ​​(bunu grad okulunda tartıştığımı hatırlıyorum ve o zamandan çok önce tartışılmıştı), ancak literatürde belirli bir referansa işaret edemiyorum. Muhtemelen aşağıdaki gibi renksiz grafik izomorfizmine doğrusal olarak eşdeğer olduğu için (bu, kanonik formlar için bile geçerlidir). EQ-GI'yi tanımladığınız sorunu arayın.

GI, her grafiğin tüm köşelerden oluşan tek bir denklik sınıfına sahip olduğu EQ-GI'nin özel örneğidir.

Diğer yönde, EQ-GI'yi GI'ye düşürmek için $(G, \sim_G)$ denklik ilişkisi olan bir grafik olmak $n$ köşe, $m$ kenarlar ve $c$denklik sınıfları. Bir grafik oluşturma$G'$ tepe noktası köşeleri $G$, yeni köşelerle birlikte $v_1, \dotsc, v_c$, her eşdeğerlik sınıfı için bir $=_G$, Hem de $n+c+1$ yeni köşe noktaları $w_0, \dotsc, w_{n+c}$. Bağlan$w_i$bir yolda $w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$, her birini bağlayın $v_i$ için $w_0$ve her köşe için $G$, karşılık gelen denklik sınıfı tepe noktasına bağlayın $v_i$. Sonra$G'$ en fazla $n + 2c + n +1 \leq O(n)$esas olarak aynı zamanda bağlanabilir. (Ayrıca en fazla$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$ kenarlar - ki $O(m)$ bağlı grafikler için - ancak bu, GI algoritmalarının çoğunun yalnızca $n$.)

Güncelleme : Yorumlarda bir karışıklık olduğu için, buraya yukarıdaki argümanın doğruluğunun bir taslağını ekliyorum. verilmiş$(G_1, \sim_1)$ ve $(G_2, \sim_2)$, İzin Vermek $G_1'$ ve $G_2'$yukarıdaki gibi oluşturulmuş grafikler; İzin Vermek$v_{i,1}$ tepe noktasını belirtin $v_i$ yukarıdan $G_1'$, ve $v_{i,2}$ içindeki $G_2'$ve benzer şekilde $w_{i,1}$ ve $w_{i,2}$. Bir izomorfizm varsa$G_1' \cong G_2'$, göndermeli $w_{i,1}$ için $w_{i,2}$ hepsi için $i$, çünkü her grafikte $w_{n+c}$ en azından herhangi bir uzunluk yolunun son noktası olan benzersiz tepe noktasıdır $n+c+1$. Özellikle,$w_{0,1}$ ile eşleşir $w_{0,2}$. Komşuları beri$w_0$ bu değil $w_1$ tam olarak $v_i$, izomorfizm seti eşlemelidir $\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$ sete $\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$ (ve özellikle her ikisi de $\sim_1$ ve $\sim_2$ aynı numaraya sahip olmalı, $c$, denklik sınıfları). İzomorfizmin göndermesine gerek olmadığını unutmayın$v_{i,1}$ için $v_{i,2}$ hepsi için $i$, ancak $v$karşılık gelen eşdeğerlik sınıfları birbirine eşlenebildiği sürece. Tersine, bu izomorfizmaların$G_1'$ ve $G_2'$ bakabilir, eğer görmek kolaydır $(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$ o zaman bu bir izomorfizma verir $G_1' \cong G_2'$.

Son yorumunuzu Joshua'nın doğru cevabında okudum; EQ-GI'yı renkli GI'ye dönüştürmeniz gerekiyorsa (yani, denklik sınıflarına atanan renklerle sorun yaşıyorsanız) aşağıdaki azaltmayı kullanabilirsiniz:

Başlangıç ​​grafiklerinin $G_1 = (V_1, E_1)$, $G_2 = (V_2, E_2)$ ve var $q$denklik sınıfları; daha sonra her grafiğe bir "permütatör", yani$|V_1|+1=|V_2|+1$ düğümler ($K'_{|V_1|+1}$,$K''_{|V_2|+1}$) ve kullan $q+1$ renkler $c_1,...,c_q,c_{q+1}$.

Hem de $K'$ ve $K''$, $q$ düğümler ayırt edilir ve $c_1,...,c_q$ kalan düğümler $c_{q+1}$. Düğümleri$G_1$ renk ile renklendirilir $c_{q+1}$ ve aynı eşdeğerlik sınıfındaki düğümler, $K'$; düğümleri$G_2$ renk ile renklendirilir $q+1$ ve aynı eşdeğerlik sınıfındaki düğümler, $K''$.

Ayrıca renkleri bırakabileceğinizi ve eşdeğer bir GI örneği alabileceğinizi unutmayın :-)

Yorumunuzdaki örneğe karşılık gelen azalma