Polinom GI polinom (kenar) renkli GI'yi ima ettiğinde?

MO'dan Crossposted .

(kenar) renkli grafik izomorfizmi, renkleri koruyan GI'dir (kenar renkli ise kenarlar).

(Kenar) renkli GI'den GI'ye dönüşümler / araçlar kullanılarak yapılan birkaç azalma vardır. Kenar renkli GI için en basit olanı, renkli kenarı, rengi kodlayan bir GI koruma aracıyla değiştirmektir (kenarı yeterince alt bölümlere ayırmak en basit durumdur). Tepe noktası renkli GI için bir tepe noktasına bazı gadget ekleyin.

GI'nin bazı grafik sınıfı için polinom olduğunu varsayalım . $C$

S1 Hangi polinom GI için polinom (kenar) renkli GI anlamına gelir? $C$

Gadget'larla bir azalma kullanmak, grafikleri üyesi değil . $C$

Öte yandan, bazı araçlar / dönüşümler grafikleri başka bir polinom GI sınıfının üyeleri haline getirebilir.

Kenar renk azaltma örneği . $G \to G'$

nin bir kısmını yapın . Renk kenarları ile ve olmayan kenarları . Bu korur boyama fonksiyonudur ve kurtarmak için den sadece renkli kenarları almak . klik, cograph, permütasyon grafiği ve neredeyse emin birçok güzel sınıfları bulunmaktadır. Kenarları garip sayıda alt bölümlere ayırmak ( için farklıdır , renkleri kaldırır ve mükemmel iki taraflı grafiği yapar , izomorfizmi korur). $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

Belki bir yaklaşım, çizgi grafiği almaktır ve karşılık gelen köşe bağlı asılı (evrensel) köşe eklemek . $G'$ $E(G')$

S2 Benzer yapılar için hoş araçlar / dönüşümler var mı?

Düzleştirilmesinde yaklaşık düşünce klik bazı genel çekme seçme ve renk koruma düzlemsel alet ile kenar geçiş değiştirerek ki eşit renk ve tat renkler için başka bir şey için. Bunun izomorfizmi koruyup korumadığını bilmiyorum. $G'$ $C_4,C_6$

Olası başka bir yaklaşım, otomorfizmi koruyan renklendirme veya her kenarını alt bölümlere ayırmak olabilir köşeleri için 3 renk kullanın ve otomorfizm ile kendini tamamlayıcı grafikleri tanımaya çalışın ve değişimi . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

S3 altbölümünün otomorfizm grubu hesaplanabilir mi? $K_n$

İlk birkaç terimden sonraki siparişler ve bu A052565'tir. $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima, bunun için yeterince kolay olabileceğini ve ilk terimlerin istisna olduğunu öne sürüyor . $n$

Q4 köşe ayrılışını renkli Verilen için ve yüksek derecede köşe renkli onun otomorfizm grubunda , bir dereceye olan ve diğer olan , alışverişi otomorfizma bulmak için karmaşıklığı ne ve ? $K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Eklenen kağıt Cayley Grafikler P 86 kabul üzerinde taleplerini:

Cayley grafiklerinin bir C sınıfı verildiğinde ve n köşe ve m kenarlarının kenar renkli bir grafik G'si verildiğinde, bir izomorfizm olup olmadığını kontrol etme sorunuyla ilgileniyoruz colors renkleri bir grafiğe G izomorfik olacak şekilde koruyarak ilgileniyoruz C cinsinden kendi jeneratör setinin elemanları. Bu yazıda, G'nin bir Cayley grafiğine renk-izomorfik olup olmadığını kontrol etmek için bir O (m log n) -zaman algoritması veriyoruz.

Bu soruya yakın görünüyor, alakalı mı?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— joro
kaynak

Hipergraflarla ilişki vardır. Renkli kenar (u, v, c) hiper kenar olarak kabul edilebilir ve grafiğe indirgeme hipergrafisi olabilir.

— joro

Yanıtlar:

S2: güzel bir örnek, bunu kanıtlamak için kullanılan grafik etiketleme aracıdır:

Teorem : Düzlemsel 3 bağlantılı renkli GI düzlemsel 3 bağlantılı GI $\leq_T^L$

Bkz. Thomas Thierauf, Fabian Wagner: Düzlemsel 3 Bağlantılı Grafikler için İzomorfizm Sorunu Belirsiz Günlük Alanında. Teori Bilgisayar Sist. 47 (3): 655-673 (2010)

Kullanılan "etiketleme aracı" 3 bağlantılılık ve düzlemsel kısıtlamaları korur.

— Marzio De Biasi
kaynak

Teşekkürler. Peki ya diğer sorular?

— joro

@joro: Q3, Q4 hakkında düşüneceğim; S1 için - belki de - "Hangi C polinom GI'nın ima etmediği (veya ima ettiği bilinmemektedir ...) polinom (kenar) renkli GI?" (çünkü GI'nın polinom zamanla çözülebildiği birçok grafik sınıfı için, basit köşe / kenar etiketleri grafikleri

C

$\mathcal{C}$

— çıkarmaz

Re Q1: Soruyu ilginç bulursanız sorun. Ya da belki de bu soruyu kendinize ait 1. Çeyrek ile düzenleyin . Bira yaparken bazı düşünceler :). (kenar) renkli grafik bana önemsiz bir şekilde köprü görünüyor. HGI, IIRC indirgeme yoluyla GI kadar kolaydır. Bazı sınırlı otomorfizm vakaları NP-tamdır ve bazıları polinom IIRC'dir.

— joro

Soruya alakalı olabilecek bir makale eklendi.

— joro

Kısmi cevap, yeterli grup teorisini anlamıyorum, ancak iki makale kısmi sonuçlar vermektedir.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Bu makalede şunlar iddia edilmektedir:

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

"Kenar rengi" nin tam tanımı benim için net değil.

Sirkülasyon GI'sini kanıtlayan kağıt , s.1 istemlerinde bir dipnotta polinomdur :

Bir grafikle, sıradan bir grafik, bir digraf veya hatta kenar renkli bir grafik kastediyoruz

MO'ya , renklendirmeler için kısıtlamalar nelerdir sorulmuştur.

— joro
kaynak