Her öğenin diğer ikisinin toplamı olduğu küçük tamsayı kümeleri bulma

Bu, math.stackexchange ile ilgili bu sorunun bir devamıdır.

Her bir  S S için, a  =  b  + c  olacak şekilde farklı b, c ∈ S öğeleri varsa , boş olmayan bir S ⊆ ℤ setinin kendi kendini desteklediğini söyleyelim . Pozitif tamsayı n için basit örnekler ideal S =  n ℤ veya ( n > 3 için) tamsayı aralığını [- n ,  n ] içerir.

 S,  −S'den ayrılırsa, S'nin kendi kendini desteklediğini söyleyeceğiz : yani, bir ∈ S, o zaman - a ∉ S. Yukarıdaki örneklerin hiçbiri güçlü bir şekilde kendi kendini desteklemez, çünkü aslında kapalıdırlar olumsuzluk altında. Kendini güçlü şekilde destekleyen sonlu kümeler vardır: örneğin, {−22, −20, −18, −16, −14, −12, −10, −2, 1, 3, 7, 8, 15 kümeleri , 23} ve {−10, −8, −6, −2, 1, 3, 4, 5}.

Soru 1. Pozitif bir N > 0 tamsayısı için , (i)  maksimum mutlak değeri N olan güçlü bir kendi kendini destekleyen küme üretmek için bir poli ( N ) -zamanı [veya polilog ( N ) -zamanı ] algoritması var mı , veya (ii )  böyle bir kümenin bulunmadığına karar verir misiniz? [ Düzenle : en eski cevapta belirtildiği gibi + benim yorumumda, her zaman N always  10 için böyle bir set var .]

Soru 2. İçin N > 0, maksimum mutlak değeri ile kuvvetli kendinden destekli dizi inşa edebilir N ve hangi az şey mümkün öğesi vardır?

Soru # 1 için doğrusal bir zaman algoritması mümkün olmalıdır (ve farklı bir temsil ile uğraşmak istiyorsanız, O (1) zaman algoritması)

Herhangi bir N> = 23 verildiğinde, 1 ve N içeren güçlü bir kendi kendini destekleyen set oluştururuz.

N-1 için aynısını inşa edersek ve bunu sonuçtaki kümeye N eklersek bunu kolayca yapabiliriz.

23 temel durumunda, örnek kümenizle başlayabiliriz.

Boyutu azaltmak için benzer bir yaklaşım kullanabilmeliyiz:

Aşağıdakileri içeren yapı setleri 1, N and N-1.

Bu kısıtlı kümeleri kullanıyoruz ve boyutu aşağıdaki gibi O (logN) değerine getirmek için bu yapıyı tekrar tekrar yapıyoruz:

• N eşitse, 1, N ve N-1 içeren bir set oluşturmak için, 1, N / 2 ve N / 2-1 (yani N / 2'ye karşılık gelen set) içeren bir seti tekrar tekrar oluşturun ve N ve N-1 ekleyin sonuç kümesine. N-1 = N / 2 + N / 2-1 ve N = 1 + N-1 olduğundan, bu geçerli bir kümedir.

• N tekse, N-1 ve N için sonuç kümesine bir küme oluşturun.

Temel durumlarda, N için {−22, −20, −18, −16, −14, −12, −10, −2, 1, 3, 7, 8, 15, 23,24} ile başlayabiliriz = 24. 24 <N <= 47 için, yukarıdaki doğrusal zaman algoritmasını kullanabilir ve N = 24 için set üzerine inşa edebiliriz. N> = 48 için yarıya indirmeye geçiyoruz.

Aslında, kompozit N için, boyutu N'yi bölen küçük primerlerden biri için gereken boyuta getirebiliriz: Küçük asal için bir set bulun ve tüm sayıları uygun bir faktörle çarpın.

N'nin birinci olması durumunda bazı düşük sınırların kanıtlanması ilginç olabilir.

N ≥ 10 için, kişi aşağıdaki gibi en fazla on bir adet güçlü bir kendi kendini destekleyen boyut seti oluşturabilir:

{−N, −N + 2, −N + 4, −2, 1, 3, 4, 5, N − 7, N − 6, N − 5}.

Orijinal soruda sunulan daha kısa örnek, N = 10 vakasına karşılık gelir. Güçlü bir şekilde kendi kendini destekleyen setin en az sekiz kardinaliteye sahip olması gerektiğinden, bu optimal olmaya yakındır .

Böylece, problem O (log (N)) zamanında [N üzerinde sıradan aritmetik işlemlerde ele alınır] çözülebilir ve sekiz ile onbir arasında bir dizi kardinalite verir.

Bu cevabın yapımı ilk olarak inşaat için sezgiyi veren math.stackoverflow sorusu için sunuldu . Daha küçük yapılar elde edebilir miyiz, örneğin her N> 9 için sekiz alt sınırını eşleştirebilir miyiz ? N ∈ {8,9} vakaları ne olacak?