PARITY'yi hesaplayan devrenin minimum boyutu nedir?

PARITY değerini giriş değişkenlerinden hesaplayan her fan girişi 2 AND-OR-NOT devresinin en az 3 ( n - 1 ) boyutta olması klasik bir sonuçtur.$3(n-1)$ değerini ve bu keskindir. (Ebadı VE ve VEYA kapıları sayısı olarak tanımlarız.) Kanıt geçit engellemesinden ibarettir ve rastgele içeri girmeye izin verirsek başarısız olur. Bu dava için bilinen nedir?

Spesifik olarak, daha büyük bir fan girişi yardımcı olduğunda bir örnek biliyor mu, yani 3 ( n - 1 ) den azına ihtiyacımız var$3(n-1)$ geçitten mı?

Ekim 18 Güncellemesi. Marzio, için 5 kapının bile CNF PARITY formunu kullanmaya yeterli olduğunu göstermiştir . Bu sınırı eder ⌊ $n=3$$5$genel içinn. Daha iyisini yapabilir misin?$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$$n$

Sadece 2.33n + C kapılarını kullanarak eşliği hesaplamak mümkündür. İnşaat oldukça basittir ve bu makalede verilmiştir.

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

Burada sadece 12 kapı kullanan 6 değişkenlik parite için bir devre örneği verilmiştir (her kapı bir AND-kapısıdır, bir kapı girişinin yanında bulunan bir daire bu girişin tersine çevrildiği anlamına gelir). DNF bloklarının (Marzio'nun üst sınırında olduğu gibi) istiflenmesiyle oluşturulan 6 değişkenlik parite için bir devrenin 13 kapıdan oluştuğunu unutmayın.

N = 2,3,4,5,6 için en uygun devre boyutlarının 3,5,8,10,12 olduğunu kontrol ettim. Bu değerler ayrıca 2.33n üst sınır veren devrelerin boyutlarıdır. 2.33n'nin her n için optimal devrenin büyüklüğü mü olduğunu hala bilmiyorum. Dahası, 7 değişkenlik parite için optimal devrenin boyutunu bilmiyorum (iki olası değer vardır, 14 ve 15).

Bu kapı eleme alt sınırı, Marzio'nun üst sınırı ile eşleşmiyor, ancak bir başlangıç.

Önerme: değişkenlerinde sınırlandırılmamış her fan-in AND / OR / NOT devre hesaplama paritesi en az 2 n - 1 AND ve VEYA kapıları içerir.$n\ge2$$2n-1$

Kolaylık sağlamak için, sadece geçitlerin AND geçitleri olduğu bir model kullanacağım, ancak olumsuzlama tellerine izin veriyoruz. N = 2 için geçidin gerekli olduğunu görmek kolaydır , bu nedenle C'nin n > 2'deki minimum boyutlu devre hesaplama paritesi olup olmadığını göstermek yeterlidir.$3$$n=2$$C$$n>2$ değişkenlerinde , en azından öldüren bir değişkenin kısıtlamasını bulabileceğimizi iki kapı.

Bazı değişken ise için bu değişken ayarlama, en az iki pozitif anne (yani, iki farklı kapılarına unnegated tellerle ile bağlıdır) sahiptir 0 anne öldürecek ve biz yapılır; Aynı şekilde iki negatif ebeveyni varsa. Böylece her değişkenin en fazla bir pozitif ve en fazla bir negatif ebeveyni olduğunu varsayabiliriz.$x_i$$0$

Let devrede, bir alt seviye kapı olarak. Genel kayıp olmadan, a = x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ . X 1 = 0 olarak ayarlayın , a = 0'a zorlar ve onu öldürür. Sınırlı devre Cı ' yine özellikle de bağlıdır, parite hesaplamaktadır x 2 nedenle, x 2 negatif üst sahiptir b = ¬ x 2 ∧ c 1 ∧ ⋯ ∧ c r . İçinde fark et$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$ , bir C j bağlıdır x 2 . Bir atama olsaydı x 3 , ... , x , n (üstünde olan X 1 = 0 ) bir hale getirir C j o hesaplar aslında ters, yanlış, sabit olacaktır Bu ödev ile sınırlı devre x 2 veya ¬ X 2 . Böylece, C ′ , tüm c j sabit 1 hesaplarve b ¬ x hesaplar$C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$ , bu nedenle a ile birlikte ortadan kaldırabiliriz.$\neg x_2$$a$

DÜZENLEME: olarak ben Yuri Kombarov en kağıttan öğrendik alt bağlı, hem de ⌊ $2n-1$Marzio DeBiasi'nincevabı tarafından belirtilen üst sınır, orjinal olarak ispatlandı.$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[1] Ingo Wegener, Sınırsız fan girişi, sınırsız derinlik devrelerinde parite fonksiyonunun karmaşıklığı , Teorik Bilgisayar Bilimi 85 (1991), no. 1, sayfa 155-170. http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

Yorumumu genişletiyorum:

1) bir fan- VE geçidi, k - 1 fan-in 2 AND geçitleri ile simüle edilebilir (ve bir OR geçidi için de geçerlidir); Öyleyse ı ı ≥ 2 yelpaze içinde kapı arasında g i aşağıdaki ilişki sahip olmalıdır:$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

2) isteğe bağlı bir fana izin verirseniz, sınırını geçebilirsiniz ; örneğin PARITY'yi 3 değişken üzerinde düşünün ( x 1 , x 2 , x 3 ) ; aşağıdaki devre sadece 5 adet isteğe bağlı fan giriş kapısı ile hesaplar:$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

$5n/2$

Eğer 3 ebeveynli bir değişmez varsa, 3'ü bir değişkenle eleyebiliriz.

İki değişmezde iki farklı kapıda bir arada meydana gelirlerse, birlikte, ana argümanı Emil'in cevabından uygulayabiliriz, yine bir değişkeni olan 3 kapıyı ortadan kaldırabiliriz.