Optimal rasgele karşılaştırmalı sıralama

Bu yüzden hepimiz, (deterministik) bir karşılaştırma sıralama algoritmasıyla yapılan en kötü karşılaştırma sayısı üzerinde karşılaştırma ağacı alt sınırını biliyoruz . Rastgele karşılaştırma sıralaması için geçerli değildir (en kötü durum girdisi için beklenen karşılaştırmaları ölçersek). Örneğin, , deterministik alt sınır beş karşılaştırmadır, ancak rastgele bir algoritma (girişe rastgele izin verin ve daha sonra birleştirme sıralaması uygulayın), tüm girişler için beklentide karşılaştırmaya sahip olmak daha iyidir. . $\lceil\log_2 n!\rceil$ $n=4$ $4\frac{2}{3}$

tavanlar olmadan bağlanma, randomize durumda, bilgi teorik bir argümanla hala geçerlidir ve hafifçe sıkılabilir. Bunun nedeni, girişe rastgele izin veren ve daha sonra (deterministik) bir karar ağacı uygulayan ve en iyi karar ağacının (varsa) tüm yaprakların birbirini takip eden iki seviyede olduğu en uygun algoritma olmasıdır. $\log_2 n!$

k + \frac{2 (n! - 2^{k})}{n!}, nerede k = ⌊ {günlük}_{2} n! ⌋ .

$k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor.$

Ya bu problemin üst sınırları hakkında bir şey biliniyorsa? Tüm , rastgele karşılaştırmalar sayısı (en kötü durum girişi için, olası en iyi algoritma için) her zaman en iyi deterministik algoritmadan kesinlikle daha iyidir (esasen, Asla iki güç değildir) . Ama ne kadar iyi? $n>2$ $n!$

ds.algorithms reference-request sorting

— David Eppstein
kaynak

l g (n!) + o (n)

$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

Sorunuz: "Bilinen nedir?" İşte bir şey:

http://arxiv.org/abs/1307.3033

$\log n! +cn$ $c$

— Pat Morin
kaynak

n \log n - 1.415 n

$n\log n-1.415n$

n \log n - 1.399 n

$n\log n-1.399n$

Ben uzman değilim, bunlardan herhangi birini bilmemin tek nedeni John Iacono. Bununla birlikte, bunun n'nin 2 gücüne ne kadar yakın olduğuna (4/3 kez) dayalı dalgalanmalarla ilgili olduğunu düşünüyorum. Sayfa 71'deki analize bakarsanız, link.springer.com/content/pdf /10.1007%2FBF01934989.pdf , -1.415n sınırı yalnızca bir k tamsayısı için n = kat ((4/3) 2 ^ k) olduğunda görünür. Belki Knuth'taki -1.329n, tüm n için geçerli olan en iyisidir?

— Pat Morin

Kesinlikle dalgalanmalar var ama (4/3) 2 ^ k en kötü durum olduğunu ve diğer durumlarda daha iyi olduğunu düşündüm.

— David Eppstein