Mu

${\bf PPAD}$ bir çoklu zaman Turing makinesi / polysize devresi, bir günlük alanı Turing makinesi veya ${\bf AC^0}$ devresi yerine sorunu kodlayacak şekilde tanımlarsak ne olur ?

Son zamanlarda küçük devreler için Devre memnuniyeti için daha hızlı algoritmalar vermenin önemli olduğu ortaya çıktı , bu yüzden P P A D'nin rektifiye edilmiş versiyonlarına ne olduğunu merak ediyorum ${\bf PPAD}$.

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$Evet bir Cı- 0 P bir D = P P bir D . (Burada ve aşağıda, A C varsayıyorum$\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ 0 muntazam bir sınıfı olarak tanımlanır. Tabii ki, birlikte düzgün olmayan bir Cı- 0 sadece alacağı P P bir D / s O l y .)$\ac$$\ac$$\mathrm{PPAD/poly}$

Temel fikir oldukça basit: Bir C 0 , bir Turing makinesi hesaplamasının bir adımını yapabilir, bu nedenle polinom zamanıyla hesaplanabilir bir kenarı polinom olarak uzun bir A C 0 ile hesaplanabilir kenar çizgisiyle simüle edebiliriz . Fikrin daha da genişletilmesi ile, bir PPAD kâhin ile poli zamanda hesaplanabilir kenarlar simüle edilebilir, yani PPAD Turing indirgenebilirliği altında kapatılır; bu argüman Buss ve Johnson'da verilmiştir .$\ac$$\ac$

Literatürde çeşitli detaylarda farklılık gösteren birçok eşdeğer PPAD tanımı vardır, bu yüzden burada kesinliği düzeltmek istiyorum. Bir NP ara sorun S orada polinom ise PPAD olan p ( n ) , ve polinom-zaman fonksiyonları f ( x , u ) , g ( x , u ) ve $S$$p(n)$$f(x,u)$$g(x,u)$ ( x , u ). N , f ve g uzunluğundakiher bir x için yönlendirilmiş bir grafik G'yi temsil eder$h(x,u)$$x$$n$$f$$g$x = ( V x , E x ) , öz döngüler olmadan V x = { 0 , 1 } p ( n ) 'dir ve her bir düğümün derecesi en fazla 1'dir . Temsil, ( u , v ) ∈ E x ise f ( x , u ) = v ve g ( x , v ) = u ; Eğer$G_x=(V_x,E_x)$$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$$1$$(u,v)\in E_x$$f(x,u)=v$$g(x,v)=u$u derece 0 derecesine sahiptir, f ( x , u ) = u ; ve u derece 0 ise , g ( x , u ) = u .$u$$0$$f(x,u)=u$$u$$0$$g(x,u)=u$

0 p ( n ) ∈ V x düğümü bir kaynaktır (yani derece 0 ve derece 1'e sahiptir ). Eğer U ∈ V X herhangi bir kaynağı ya da lavabo (de-derece 1 , üzerinden derece 0 ) dışında 0 p $0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$ n ) , ardındanh(x,u)için bir çözümS(x).$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

Biz tanımlayabilir bir Cı- 0 P bir D biz gerektiren dışında, benzer şekilde f , g , h olmak F bir C 0 .$\ac\mathrm{PAD}$$f,g,h$$\mathrm{FAC}^0$

Basitlik için inşaattaki h'yi görmezden geleceğim . (Birinin onu bir projeksiyon olarak alabileceğini göstermek zor değil, bu nedenle A C 0 uyumlu.)$h$$\ac$

Bu yüzden, bir PPAD sorun dikkate S tarafından tanımlanan f ve g ve düzeltme Turing makineleri işlem f ve g zamanlı q ( n ) . Herhangi bir x için , köşeleri aşağıdaki formun dizileri olan yönlendirilmiş bir grafik G ′ x = ( V ′ x , E ′ x ) tanımlarız :$S$$f$$g$$f$$g$$q(n)$$x$$G'_x=(V'_x,E'_x)$

• ( 0 , u , c 1 , ... , c k ) , burada U ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) ve c , 1 , ... , c k ilk olarak K hesaplanırken konfigürasyonları f ( x , u ) .$(0,u,c_1,\dots,c_k)$$u\in V_x$$0\le k\le q(n)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

• ( 0 , u , c 1 , … , c q ( n ) , v , d 1 , … , d k ) , burada u , v ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) , f ( x , u ) = v , c 1 , ... , c q $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$$u,v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$f(x,u)=v$n ) f(x,u)'un tam hesaplamasıdırve d 1 ,…, d k ,g(x,v)'nin hesaplanmasındakiilkkbasamağıdır.$c_1,\dots,c_{q(n)}$$f(x,u)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_k)$, where $0^{p(n)}\ne v\in V_x$, $0\le k\le q(n)$, and $d_1,\dots,d_k$ are the first $k$ configurations in the computation of $g(x,v)$.

• ( 1 , v , d 1 , … , d q ( n ) , u , c 1 , … , c k ) , burada u , v ∈ V x , v ≠ 0 p ( n ) , 0 ≤ k ≤ q ( n ) , g ( x , v ) = u ,$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$$u,v\in V_x$$v\ne0^{p(n)}$$0\le k\le q(n)$$g(x,v)=u$$d_1,\dots,d_{q(n)}$ is the computation of $g(x,v)$, and $c_1,\dots,c_k$ are the first $k$ steps in the computation of $f(x,u)$.

$E'_x$ consists of the edges in $V'_x\times V'_x$ of the following kinds:

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ if $f(u)=v$ and $g(v)=u$ (i.e., either $(u,v)\in E_x$, or $u=v$ is an isolated vertex)

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

Formally, let $r(n)$ be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with $\ac$-functions); we actually put $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$, and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.

It is easy to see that the functions $f'$, $g'$ representing $G'_x$ are $\ac$-computable: in particular, we can test in $\ac$ whether $c_1,\dots,c_k$ is a valid partial computation of $f(x,u)$, we can compute $c_{k+1}$ from $c_k$, and we can extract the value of $f(x,u)$ from $c_{q(n)}$.

The sinks in $G'_x$ are nodes of the form $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ where $u$ is a sink in $G_x$. Likewise, sources are $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ where $v$ is a source in $G_x$, except that in the special case $v=0^{p(n)}$, we have pruned the line early and the corresponding source in $G'_x$ is just $(0,0^{p(n)})$. We can assume the encoding of sequences is done in such a way that $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$.

Thus, $f'$ and $g'$ define an $\ac\mathrm{PAD}$ problem $S'$, and we can extract a solution to $S(x)$ from a solution to $S'(x)$ by an $\ac$-function $h'$ which outputs the second component of a sequence.