“Büyük” tanıklarla doğal NP-komple sorunlar

Cstheory sorusu “ NP, doğrusal boyut tanıklarıyla sınırlıdır? ” Sorusunu sorar, NP sınıfı lineer boyutla sınırlıdır , fakat $O(n)$ tanık olur.

Var mıdır doğal NP-tam problemler boyutu içinde (evet) örneklerini $n$ daha boyutunun daha fazla tanık gerektiren $n$ ?

Açıkça şöyle yapay problemler yapabiliriz :

• $L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
• $L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

G & J'ye hızlıca baktıktan sonra, her doğal NPC problemi (kesinlikle) küçük tanıklara sahip görünüyor $n$.

Bunun için bir "sebep / açıklama" var mı?

Yoğun bir grafikteki kenar renklendirme sayısı (aka Kromatik indeks )? Size köşe grafiğinin bitişik matrisi ( n 2 bit girişi) verilmiştir, ancak renklendirmeyi tanımlayan doğal tanık n 2 log n boyutuna sahiptir.$n$$n^2$$n^2\log n$ . Elbette, Vizing teoreminde sınıf 1 grafikler için daha kısa kanıtlar olabilir .

Ayrıca bu olası soruya bakınız.

Görünüşe göre uzun tanıklar gerektiren bazı doğal NP-komple problemlerle karşılaştım. ve D tam sayılarının parametrelediği problemler şunlardır:$C$$D$

Girdi: Bir tek bant TM Soru: Bazı var n ∈ N , öyle ki E fazla yapan Cı- N + D uzunluğunun bir kısmı girişe adımları n ?$M$
$n\in\mathbb{N}$$M$$Cn+D$$n$

Bazen sorunun tamamlayıcısı durumuna kolaydır: Does verilen bir tek bant TM süresi içinde koşmak C n + D yani. en az yapar C , n + D boyutu her girdilere adım n tüm, n ?$M$$Cn+D$$Cn+D$$n$$n$

Tam sonuç burada sunulmuştur . Temel olarak, biz zaman bir tek bant TM çalışır olup olmadığını doğrulamak için istiyorum olduğu gösterilmiştir , sadece tarafından sınırlanan uzunluğu girdilerine doğrulamak için gereken q , O ( Cı ) , q durumların sayısıdır girişin TM. Tanık uzunluğu giriş olur Böylece q O ( Cı ) için de gelen saat ihlal edilmiştir. Ayrıca bu problemlerin tüm C ≥ 2 ve D ≥ 1 için NP-tam olduğu referansta gösterilmiştir.$Cn+D$$q^{O(C)}$$q$$q^{O(C)}$$C\geq 2$$D\geq 1$ .

Şimdi, şahit çalışma zamanını ihlal eden bir girdi ise , genel olarak uzunluğunda olmalıdır . Ve giriş uzunluğu O ( q 2 ) 'dir .$q^{\Omega(C)}$$O(q^2)$

İşte doğal bir sorun gibi görünen bir örnek.

Örnek: Pozitif tamsayılar, ve k , tümü yukarıdan n ile sınırlandırılmış$d_1,\ldots,d_n$$k$$n$ .

Soru: Derece sırası d 1 , … , d n olan renklendirilebilir bir grafik var mı ?$k$$d_1,\ldots,d_n$

Burada giriş bit ile tanımlanabilir, ancak tanık Ω ( n 2 ) bit gerektirebilir .$O(n\log n)$$\Omega(n^2)$

Not: Bu özel sorunun gerçekten NP-tamam olduğuna dair bir referansım yok. Ancak, renklendirilebilirliği gerekliliği, diğer tüm NP-tamamlayıcı koşullarla değiştirilebilir; Sorun bunun için olmasa da bir durum için tamamlanmış olacak.$k$

Belki bu aptalca bir "sebep / açıklama" dır, ancak birçok NP-Tam problem için bir çözüm girişin bir alt kümesidir (sırt çantası, köşe örtüsü, klik, baskın küme, bağımsız küme, maksimum kesim, alt küme, ... ) ya da girişin bir alt kümesine bir permütasyon ya da atama (Hamilton yolu, seyahat eden satıcı, SAT, grafik izomorfizmi, grafik renklendirme, ...).

Bundan daha fazlasını okumaya çalışabiliriz veya daha belirgin bir sebeple gelebiliriz, ancak daha derin bir şey olup olmadığından emin değilim.

İlk sorunuza gelince, Allender ( Kendi Kendini Azaltılabilirlik Yoluyla Daha Düşük Sınırları Arttırırken ) NTIME (n) 'nin dışında hiçbir doğal NP-tamam sorunu olmadığını bilmediğini belirtir. Bu, bilinen tüm doğal NP-komple setlerin doğrusal büyüklük tanıklarına sahip olduğu anlamına gelir.

Consider the following variant of the MAXCLIQUE problem.

Instance: A circuit $C$ with $2n$ input bits, and of polynomially bounded size in $n$. This circuit implicitly determines a graph on $2^n$ vertices, such that each vertex is identified with an $n$-bit string, and two vertices are connected with an edge if the $2n$-bit string that is obtained by concatenating the two vertex IDs, is accepted by $C$. Let $G(C)$ denote this graph. Note that it has exponentially many vertices in $n$, but is still determined by the polynomial size description of $C$.

Question: Does $G(C)$ contain a clique of size $n^k$, where $k$ is a fixed constant?

Notes:

1. The problem is NP-complete. The containment in $NP$ is obvious. Completeness can be proved by observing that if the circuit accepts only vertex pairs in which each ID is at most $N=2n^k$, then $G(C)$ can be an arbitrary $N$-vertex graph plus many isolated vertices. (Any such $N$-vertex graph can be encoded in $C$, since $C$ is allowed to have polynomial size in $n$, and so also in $N$.) Then the question becomes: is there an $N/2$-sized clique in an $N$-vertex graph? This is known to be NP-complete, for general $N$. The issue that $N$ is not arbitrary, it is restricted to $N=2n^k$, can be eliminated by appropriate padding.

2. The natural witness for the original problem is the $n^k$-sized clique, which can be described by an $O(n^{k+1})$ long string (an $n$-bit string for each of the $n^k$ vertices). Note that $k$ can be a very large constant, so the witness can be much longer than linear. (Even if the input size is the description of $C$, rather than $n$, this witness can be still much longer, because $k$ can be chosen independently of $C$.)

3. The problem can be viewed as natural, since it is a variant of MAXCLIQUE.

4. When Allender wrote "no natural NP-complete problem is known to lie outside of $NTIME(n)$," (see Amplifying Lower Bounds by Means of Self-Reducibility, Section 7), he may have had a narrower concept of naturalness in mind. For example, natural could be narrowed to something that people really want to solve on the grounds of independent, practical motivations. It is not enough if the problem is not constructed via diagonalization.