Uzun Süreli Konjonktürler daha sonra önemsiz bir ima ile kanıtlanmıştır

TCS'de uzun süredir kanıtlanmamış, daha sonra başka bir teoremden çıkarımla kanıtlanmış, kanıtlanması daha kolay olabilecek varsayımlar olup olmadığını bilmek istiyorum.

Erdös ve posa bir tamsayı için ispat ve herhangi bir grafik G ya G sahip k ayrık döngüleri veya en fazla büyüklükte bir kümesi bulunmaktadır f ( k ) köşe S ∈ G , öyle ki G ∖ S bir orman. (kanıtlarında f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k ) ).$k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

Aşağıdaki olarak bilinen sabit bir grafik Erdös ve Pósa özelliği ( resmi bir tanım değil):$H$

Grafiklerin sınıfı fonksiyonu olup olmadığını Erdös-Posa özelliği kabul f örneğin her grafik için bu lH ∈ C ve herhangi k ∈ Z ve herhangi bir grafik için G ya da vardır k , ayrık izomorfik kopyası (wrt küçük veya alt bölüm) bir H olarak G veya bir dizi S vert G köşesi vardır , öyle ki | S | ≤ f ( k ) ve G ∖ S izomorfik kopyası vardır H .$\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Erdös ve Pósa'nın bu mülkü kabul eden bir döngü sınıfı sonucundan sonra, uygun bir sınıfı bulmak açık bir soruydu . Olarak grafik minör V her düzlemsel grafik sınırlı bir ağaç genişliğinde ve el ızgara teoremi sahip olarak, bir minör olarak büyük bir ızgarasını içerir ya kanıtladı bunlar Erdös ve posa özelliği ancak ve ancak (küçük için) sahip olduğunu göstermiştir Cı a, düzlemsel grafik sınıfı. Bununla birlikte, sorun hala alt bölümlere açıktır. Ama önemsiz teoremin kanıtı bir şekilde basittir ve bildiğim kadarıyla ızgara teoremini kullanmadan kanıt yoktur.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Digraflar için son sonuçlar, digrafiler için benzer alanda uzun süredir açık olan soruların cevaplarını vermektedir. örneğin, bir çok temel soru bir işlevi yoktur olduğu herhangi bir grafik için bu tür G ve tamsayılar k , l , biz ya kümesini bulmak için S ⊆ V ( G ) en az bir f ( k + l ) bu şekilde köşe noktaları G - S , en azından uzunluğunun bir döngüsüne sahiptir l ya da vardır k uzunluğunun ayrık çevrimi en az l içinde $f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$. Bu sadece özel bir durumdur, ancak için bir Young varsayımı olarak biliniyordu. Bundan önce Young'ın varsayımı Reed ve arkadaşları tarafından oldukça karmaşık bir yaklaşımla kanıtlandı.$l=2$

Digrafilerde hala oldukça önemsiz bazı vakalar olduğunu belirtmek gerekir. Örneğin, yukarıdaki makalede yer alan Teorem 5.6, gençlerin varsayımlarının küçük bir zayıf bağlı digraf sınıfına pozitif bir uzantısıdır, ancak sahip olduğumuz bilgi ve matematik araçları ile önemsiz değildir (ya da belki de bunun için basit bir argüman bilmiyoruz ). Belki de bu grafikler için daha iyi bir karakterizasyon sağlayarak, bunu kanıtlamanın daha kolay bir yolu olacaktır.

sorunun başlığı "önemsiz etkiler" anlamına gelir, ancak içerikler bu kriterleri tam olarak belirtmez, bu yüzden bu biraz karışık bir mesajdır. genel temaya yaklaşan bir yarı ünlü madde / örnek (o zamanlar ~ 4 on yıllık) Güçlü Mükemmel Grafik Konjonktürünün kanıtıdır.2002 yılında Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour ve Robin Thomas. mükemmel grafiklerin tanınmasının algoritmik karmaşıklığı sorunu, güçlü mükemmel grafik varsayımının kanıt mekaniğine sıkı sıkıya bağlı / sıkı bir şekilde bağlanmıştı, ancak bu, varsayımın kanıtından önce tam olarak anlaşılmamış veya bilinmemiştir. diğer bir deyişle, "mükemmel grafik tanıma P'de" (veya "düşük karmaşıklık" vb.) güçlü mükemmel grafik teoreminin analizi / özellikleri / mekaniği üzerine inşa edilerek nispeten hızlı bir şekilde çözülen gayri resmi bir açık varsayım vardı.

Mükemmel grafikleri tanımak için bir polinom algoritması Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003