Sadece bir eşik kapılı aritmetik devreler

- girişle sınırlandırıldığında , her -circuit fonksiyonlarını hesaplar . Bir boolean işlevi elde etmek için , çıkış kapısı olarak sadece bir fanin-1 eşik kapısı ekleyebiliriz. Giriş üzerinde elde edilen eşik - devre sonra çıktılar ise ve çıkışlar ise ; eşiği , bağlı olabilecek herhangi bir pozitif tamsayı olabilir. $0$ $1$ $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $a\in\{0,1\}^n$ $\{+,\times\}$ $1$ $F(a)\geq t$ $0$ $F(a)\leq t-1$ $t=t_n$ $n$ ancak giriş değerlerinde değil. Elde edilen devre, bazı (monoton) boole işlevini hesaplar . $F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$

Soru: Can eşiği verimli tarafından simüle edilmesi -circuits -circuits? $\{+,\times\}$ $\{\lor,\land\}$

"Verimli" ifadesi altında "en çok polinom büyüklüğünde bir artışla" kastediyorum. Cevap eşiği için "evet" açıktır : sadece yerine tarafından , tarafından ve son eşik kapısı kaldırın. Yani, -circuits aslında eşiktir - -circuits. Peki ya daha büyük eşikler, yani, ? $t=1$ $+$ $\lor$ $\times$ $\land$ $\{\lor,\land\}$ $1$ $\{+,\times\}$ $t=2$

Bir aritmetik benzerlerinin tanımlayabilir en Boole devre sınıfları sadece kullanılarak , yerine OR yerine ve, ve yerine . Örneğin, devreleri, sınırlandırılmamış fanin ve geçitleri ile birlikte sabit derinlikli devreleri ve ve girişleridir . Agrawal, Allender ve Datta, = eşiğini göstermiştir . ( kendisinin uygun olduğunu hatırlayın. $\#C$ $C$ $+$ $\times$ $1-x_i$ $\bar{x}_i$ $\#AC^0$ $\{+,\times\}$ $+$ $\times$ $x_i$ $1-x_i$ $\#AC^0$ $TC^0$ $AC^0$ alt kümesi ; Binbaşı işlevini ele alalım.) Başka bir deyişle, sabit derinlik eşik devreleri, sadece tek bir eşik kapısı olan sabit derinlik devreleri ile verimli bir şekilde simüle edilebilir ! Ancak, sorumun monoton devrelerle ilgili olduğuna dikkat edin (eksi " " ve kapılar olarak yok ). Bir (son) eşik kapısı o zaman da bu kadar güçlü olabilir mi? Bunları bilmiyorum, bu yüzden ilgili herhangi bir işaretçi bekliyoruz. $TC^0$ $\{+,-,\times\}$ $-$ $1-x_i$

NB Arnold Rosenbloom'dan dolayı başka ilginç bir sonuç daha var : -dec çıkış kapısı olarak yalnızca bir monoton işlevli devreler Her dilim fonksiyonunu kapıları ile hesaplayın . Dilim işlevi, bazı sabit , tüm girdilerde daha az (örneğin daha fazla) ( çıkış ) veren bir monoton boolean işlevidir . Öte yandan, kolay sayım, çoğu dilim işlevinin genel üstel boyuttaki devreleri gerektirdiğini gösterir. Böylece, bir "masum" ek çıkış kapısı olabilir $\{+,\times\}$ $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ $O(n)$ $k$ $0$ $1$ $k$ $\{\lor,\land,\neg\}$ monoton devreleri her yerde hazır kıl! Benim sorum, bunun , bir fanin- eşik kapısı olması durumunda da olabileceğini soruyor . $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ $1$

Gerçekleştirme (03.11.2014 eklendi): Emil Jeřábek göstermiştir cevabı "evet" olduğu (şaşılacak basit yapı aracılığıyla, aşağıda onun cevabını bakın) sürece sabit için . Dolayısıyla, soru sadece süper-polinom ( cinsinden ) eşikleri için açık kalmaktadır .

t \leq n^{c}

$t\leq n^c$

c

$c$

n

$n$

Genellikle uygulamalarda yalnızca büyük eşikler işe : için genellikle biçimindeki eşiklere ihtiyacımız vardır . Ki, eğer sayar sayısını - ile belirtilen grafikte yolları - daha sonra giriş, ile , eşiği- versiyonu çözer Hamiltoniyeninden varlığını - ile yol problemi -vertex grafikler (bakınız örneğin buraya ). $2^{n^{\epsilon}}$ $\epsilon > 0$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $s$ $t$ $0$ $1$ $t=m^{m^2}$ $m\approx n^{1/3}$ $t$ $F$ $s$ $t$ $m$

(14.11.2014 Eklendi): Emil sorumun büyük bir bölümünü cevapladığından ve üstel eşikler olayı görünmediğinden, şimdi bu Emil'in (çok hoş) cevabını kabul ediyorum.

circuit-complexity arithmetic-circuits cc-complexity-theory

— Stasys
kaynak

Bekleyin… üstel boyut? Boolean geçitleri ile polinom boyutunda bir dilim fonksiyonunu uygulayabileceğinizi düşünüyorum, üstel büyüklükte olması gereken (ara sonuçları bir defadan fazla tekrar kullanamayan) bir formül.

— Zsbán Ambrus

Zsbán Ambrus @ bulunmaktadır en fazla olduğu

boyutu devreleri

, ama en azından

ayrı

zaten -slice fonksiyonları

; a, b pozitif sabitler.

S^{a S}

$S^{aS}$

S

$S$

2^{2^{b n}}

$2^{2^{bn}}$

k

$k$

k = n / 2

$k=n/2$

— Stasys

2^{n^{c}}

$2^{n^c}$

({0, \dots, t}, min {x + y, t}, min {x y, t})

$(\{0,\dots,t\},\min\{x+y,t\},\min\{xy,t\})$

Direkt olarak devrelerini alırsınız . Her bir düğüm yerine ile düğümleri , Boole yüklem hesaplar . ( Sabit hesapladığı için ihtiyacınız yoktur , ancak aşağıdaki ifadeyi basitleştirir.) Bu gösterimde, ve , büyüklüğündeki devreleriyle simüle edilebilir : örneğin, , .

\land, \lor

$\land,\lor$

c

$c$

t + 1

$t+1$

c_{0}, \dots, c_{t}

$c_0,\dots,c_t$

c_{i}

$c_i$

c \geq i

$c\ge i$

c_{0}

$c_0$

1

$1$

+

$+$

\cdot

$\cdot$

{\land, \lor}

$\{\land,\lor\}$

O (t^{2})

$O(t^2)$

c = a + b

$c=a+b$

c_{i} = \underset{j + k \geq i}{⋁} (a_{j} \land b_{k})

$c_i=\bigvee_{j+k\ge i}(a_j\land b_k)$

— Emil Jeřábek Monica'yı destekliyor

@Emil Jeřábek: Çok hoş! Şimdi bunun hakkında bir açıklama ekledim. Aslında, bu yorumu bir cevap olarak koymak belki de faydalı olabilir: polinom eşik durumu da hemen belli değildi (en azından benim için).

— Stasys

Cevap ise “evet” dir . Daha genel olarak, bir eşiği boyutu -Devre eşiği ile bir simüle edilebilir -Devre boyutu . $t=n^{O(1)}$ $\{+,\cdot\}$ $s$ $t$ $\{\lor,\land\}$ $O(t^2s)$

Öncelikle, devreyi içinde kesilmiş toplama ve çarpma ile değerlendirmenin yeterli olduğunu gözlemleyin : özellikle eğer , sonra , ve , ya da . $\{0,\dots,t\}$ $a,a'\ge t$ $a+b,a'+b\ge t$ $ab,a'b\ge t$ $ab=a'b(=0)$

Bu doğrultuda, her düğüm değiştirerek bir Boole monoton devresi ile devre simüle düğümleri , yüklem hesaplamak için tasarlanmıştır . ( Sadece gösterim kolaylığı için ihtiyacımız vardır , sabit fonksiyonunu hesaplar .) bir Boolean giriş değişkeni , , $c$ $c_0,\dots,c_t$ $c_i$ $c\ge i$ $c_0$ $1$ $c$ $x$ $c_1=x$ $c_2=\dots=c_t=0$ . Eğer bir giriş kapısı ise, bunu Çarpma kapıları aynı şekilde ele alınır. $c$ $c=a+b$

c_{i} = \underset{\begin{matrix} j, k \leq t \\ j + k \geq i \end{matrix}}{⋁} (a_{j} \land b_{k}) .

$c_i=\bigvee_{\substack{j,k\le t\\j+k\ge i}}(a_j\land b_k).$

Bu , orijinal devrenin bir geçidi başına kapılarını alır . Küçük bir optimizasyon olarak, bunu azaltır koyarak $O(t^3)$ $O(t^2)$ böylece her birininsadece birinin bir girdi olarak kullanılırkapılar.

\begin{aligned} c_{t} & = \underset{j + k \geq t}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), \\ c_{i} & = c_{i + 1} \lor \underset{j + k = i}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), i < t, \end{aligned}

$\begin{align*} c_t&=\bigvee_{j+k\ge t}(a_j\land b_k),\\ c_i&=c_{i+1}\lor\bigvee_{j+k=i}(a_j\land b_k),\qquad i<t, \end{align*}$

a_{j} \land b_{k}

$a_j\land b_k$

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábek Monica'yı destekliyor
kaynak