Hesaplanabilirlik ve mantıkta sabit noktalar

15

Bu soru Math.SE sitesinde de yayınlanmıştır.

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

Umarım buraya da gönderebilirsin. Değilse veya CS.SE için çok basitse, lütfen bana söyleyin, ben silerim.

Mantıktaki sabit nokta teoremleri ile $\lambda$ hesabı arasındaki ilişkiyi daha iyi anlamak istiyorum .

Arka fon

1) Gerçeğin eksiklik ve tanımlanamazlıkta sabit noktaların rolü

Bildiğim kadarıyla anladığım kadarıyla, ayrı mantığı içselleştirerek temel fikrinden, delillerinden hem anahtarı gerçeğin Tarski undefinability ve Goedel eksiklik teoremi şudur mantıksal sabit nokta teoremi yapıcı, finitistic metateori yaşayan (I formülasyonu umut tamam, bir şey yanlış veya belirsiz ise lütfen beni düzeltin):

Mantıkta sabit noktaların varlığı

Varsayalım dil üzerinde yeterince ifade, ardışık enumerable teori ve izin bir kodlama olarak olarak -formulas olduğunu, bir algoritma iyi oluşturulmuş rasgele dönüm -formulas içine bir serbest değişken ile -formulas , herhangi bir ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ -Formül Elimizdeki . $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$

Daha sonra bir algoritma vardır iyi oluşturulmuş dönüm kapalı iyi oluşturulmuş içine bir serbest değişken -formulas herhangi öyle ki, -formulas bir serbest değişken -Formül Elimizdeki burada, yorumlama tanımlanmış fonksiyon sembolü olarak ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ Ayrıca daha fazla kompakt yazılmış olabilir $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
Başka bir deyişle, , tek değişkenli - formüllerinin - denkliğine göre sabit noktaların inşası için bir algoritmadır . ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

Bunun en az iki uygulaması vardır:

Bunu ifadesine uygulamak, " , kendi kodlaması ile başlatıldığında kanıtlanamayan bir cümleyi kodlar." Goedel'in argümanının merkezinde yer alan "Bu cümle ispatlanamaz" biçiminin resmileştirilmesini sağlar. $\phi(v)$ $v$
Bunu uygulamak keyfi bir cümle için gerçeğin Tarski undefinability verir. $\neg\phi$ $\phi$

2) Tipsiz hesabında sabit noktalar $\lambda$

Türlenmemiş hesabında, sabit noktaların oluşturulması özyinelemeli fonksiyonların gerçekleştirilmesinde önemlidir. $\lambda$

hesabında sabit noktaların varlığı : $\lambda$

Bir vardır sabit nokta combinator , yani, bir uzun dönem öyle ki herhangi uzun dönem , elimizdeki $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$f (Y f) \sim_{α β} Y f .$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

Gözlem

Beni şaşırtan şey, sabit nokta birleştiricisinin içinde -calculus doğrudan yansıtan bir çok temiz ve teknik olmayan bir şekilde, mantıksal sabit nokta teoremi olağan kanıtı: $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

Çok kabaca , bir formül verilen , tek kayıt altına gördüğü ifadesi "nin kodları bir kendisiyle örneği oluşturulan, tatmin cümle " ve koyar . Cümle gibi $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ ve karşılık geldiği $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ . $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

Soru

Hızla tarif edilen fikrine rağmen, mantıksal sabit nokta teoreminin kanıtını oldukça teknik ve tüm detaylarda gerçekleştirmenin zor olduğunu gördüm; Kunen bunu örneğin 'Set Theory' kitabının Theorem 14.2'sinde yapıyor. Öte yandan, hesabında birleştiricisi çok basittir ve özellikleri kolayca doğrulanır. $Y$ $\lambda$

Mantıksal sabit nokta teoremi hesabında sabit nokta birleştiricilerinden titizlikle takip ediyor mu? $\lambda$

Örneğin, herhangi bir sabit nokta birleştiricisinin yorumlanması, mantıksal sabit nokta teoreminde açıklandığı gibi bir algoritma verecek şekilde, formülleri ile hesaplamasınımantıksal denkliğe kadar modelleyebilir mi? $\lambda$ ${\mathcal L}$

Düzenle

Martin ve Cody'nin cevaplarında açıklanan aynı köşegenleştirme argümanının diğer birçok örneği göz önüne alındığında, şu soruyu yeniden ifade etmeliyiz:

birleştiricisinde ifade edilen prensibi izleyen köşegenleştirme argümanlarının ortak bir genellemesi var mı ? $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

Eğer doğru bir şekilde anlarsam , bir öneri Lawvere'in Sabit Nokta Teoremi'dir , aşağıya bakınız. Ne yazık ki, Martin'in cevabında belirttiği makalelerin hiçbirinde ilgili uzmanlıkları takip edemiyorum ve birisi bunları açıklayabilirse mutlu olurum. İlk olarak, bütünlük için:

Avukatın Sabit Nokta Teoremi

Let sonlu ürün ve bir kategori olarak bir morfizmanın için bu şekilde de bazı vardır tüm noktalar için bu şekilde birine sahiptir ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
Sonra herhangi bir endomorfizm için , $g: Y\to Y$ herhangi bir seçim verir sabit bir noktasına artış , yani
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

Bu, sonlu ürünlerle kategorilerin (sezgisel) birinci dereceden teorisinde bir ifadedir ve bu nedenle ikincisinin herhangi bir modeli için geçerlidir.

Örneğin , söylem alanı olarak bütün set teorik evreni alarak Russel'in paradoksu verir (almak , kümelerin varsayımsal seti ve -predicate) ve Cantor teoremi ( kümesini al ve varsayımsal kesite karşılık gelir $A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ ). Ayrıca, Lawvere'in Teoreminin kanıtının çevirisi olağan köşegen argümanları verir.

Daha somut bir sorun:

Birisi Lawvere Teoreminin kısmi özyinelemeli fonksiyonlara veya mantıksal sabit nokta teoremlerine uygulanmasını ayrıntılı olarak açıklayabilir mi? Özellikle, orada hangi kategorileri dikkate almamız gerekiyor?

D. Pavlovic olarak, paradokslarının yapısı üzerinde , yazar tarafından serbest bir şekilde oluşturulan bir kategori dikkate ile parçacık yinelemeli fonksiyonlar. ${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

Ne yazık ki bunun ne anlama geldiğini anlamıyorum.

Örneğin, kompozisyon kanunu $\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ sadece kısmi bir işlevdir, dolayısıyla tanımsız olabilir, sabit nokta teoremi önemsizdir.

Kişinin gerçekten dikkate almak istediği kategori nedir?

Belki de hedef Roger'ın sabit nokta teoremini elde etmektir, ancak o zaman kişi bir şekilde doğal sayılarla kısmi özyinelemeli fonksiyonların kategorinin tanımına kodlanmasını sağlamalı ve bunu nasıl yapacağımı anlayamıyorum.

Birisi Lawvere'in Sabit Nokta Teoreminin uygulandığı bir bağlamın inşasını açıklayabilirse, mantıklı bir sabit nokta teoremine veya kısmi özyinelemeli fonksiyonlar için bir sabit nokta teoremine yol açtığında çok mutlu olurum.

Teşekkür ederim!

lo.logic computability lambda-calculus

— Hanno Becker
kaynak

1

Q

$Q$

λ

$\lambda$

@ EmilJeřábek: Yorumunuz için teşekkür ederiz! Yinelemeli fonksiyonların kodlanmasında bir yol olmayacağını anlıyorum, ancak kodlama ile ilgili olanı ve sonrasında neyin resmi olduğunu açıkça ayırmak istiyorum.

— Hanno Becker

λ

$\lambda$

Y

$Y$

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

Cody, tam olarak hangi kategoriyi kullandığını açıklayabilir misin, çünkü diğer kaynakları takip edemediğim nokta bu.

— Hanno Becker

7

Muhtemelen sorunuzu doğrudan cevaplamıyorum, ancak Gödel'in teoremleri ve Y-birleştiricisi de dahil olmak üzere birçok paradoksun ortak bir matematiksel genellemesi var. Bunun ilk olarak Lawvere tarafından araştırıldığını düşünüyorum. Ayrıca bakınız [2, 3].

FW Lawvere, Diyagonal argümanlar ve kartezyen kapalı kategoriler .
D. Pavlovic, Paradoksların yapısı hakkında .
NS Yanofsky, Kendinden Referanslı Paradokslara Evrensel Eksiklik, Eksiklik ve Sabit Noktalar .

— Martin Berger
kaynak

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@HannoBecker Bu kodlamaya oldukça zor ve duyarlı olabilir.

— Martin Berger

5

Sorunuza tam bir cevabım yok, ama buna sahibim:

Gereğince Vikipedi diyor

$Q(x, y)$ $p$
$φ_{p} ≃ λ y . Q (p, y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

$\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$T ⊢ ϕ (\bar{n}) \Leftrightarrow T ⊢ \exists y, φ_{n} (y) = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

Bu tam olarak istediğiniz şey değil, ancak bir içselleştirme hilesi size daha güçlü bir ifade verebilir

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

Şimdi yine, bu mantıksal sabit nokta teoremi değil, aynı amaca hizmet edebilir.

$Q(x,y)$
$Q (x, y) = 0 iff T ⊢ ϕ (\bar{x}) in at most y steps$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ $Q$ $\exists y, Q(x, y)$ ${\mathscr T}$ $\phi(\overline{x})$ ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ $\omega$ $Q$ $\square$

Biraz düşündüğünüzde, muhtemelen içselleştirmeden doğrudan tam teoremi vermek için bu argümanı güçlendirebilirsiniz.

— cody
kaynak

Cevabınız için teşekkür ederim! Seni anlayıp anlamadığımı görmek için yavaşça gideyim: İlk açıklamanızda,

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$ tamamen keyfi olun, ya da en azından uyarılmış Kıvrımlı haritayı mı istiyorsunuz?

C ({N-}^{2}, N-) \to harita (N-, C (N-, N-)) ≅ harita (N-, N-)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$ kısmi özyinelemeli fonksiyonlarda görüntü sahibi olmak

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$ ve uyarılmış değerlendirmenin

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$ ,

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$ hesaplanabilir olmak?

— Hanno Becker

Bu varsayımlarla, ifadenin doğru olduğunu anlıyorum; Ancak, yine de - - tabloların bu tür birçok olduğu gibi benzerlik ile

Y

$Y$ -kombinatör

λ

$\lambda$ -calculus dikkat çekicidir, bunu ikincisinin resmi bir sonucu haline nasıl getireceğinizi görmüyorum . Açıklayabilir misiniz?

— Hanno Becker

İlk nokta: haklısın, istiyorsun

φ

$\varphi$ tarif ettiğiniz anlamda "aklı başında" olmak. İkinci nokta için:

Y

$Y$ birleştirici aslında ifade eder

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$ . Özyineleme teoremi aslında aynı şeyi söyler:

p := Y Q

$p:= Y\ Q$ . Bununla birlikte, kısmi özyinelemeli fonksiyonlar teorisi biraz daha genelliğe izin verir: bir fonksiyonun kodu fonksiyonun kendisinden farklıdır. Eşdeğeri

λ

$\lambda$ -calculus Lisp'de olduğu gibi bir işlem quoteve evalişlem görecektir . Bu anlamda, özyineleme teoremi,

Y

$Y$ combinator.

— cody