Basitçe yazılmış lambda hesabı ve üst düzey mantık

Basitçe yazılmış lambda hesabı ile yüksek mertebeden mantık arasındaki ilişki nedir?

Curry-Howard altında basitçe yazılan lambda hesabı önermenin mantığına karşılık geliyor gibi görünüyor. Üst düzey mantıkla nasıl bir ilişkisi var? Geuvers'ın bu eğiticisine göre: http://typessummerschool07.cs.unibo.it/courses/geuvers-1.pdf HOL dili STT gibi görünüyor. PROP olmamalı mı? Bu ne anlama geliyor?

STT tanımlandığında Kilisenin aklında HOL var mıydı?

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— lambda2
kaynak

Evet, Kilisenin aklında HOL vardı. STT'den HOL almanın hilesi , fonksiyon uygulaması ve fonksiyon soyutlamanın yanı sıra eşitliği kullanmaktır . Daha sonra 'ı . Bu tür soruları ele alan STT'ye giriş olarak "Basit Tip Teorisinin Yedi Fazlası" nı seviyorum. Belki bir cevap yazmalıyım ...

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— Thomas Klimpel

Peki, Curry-Howard hakkında konuşurken, STT'ye eşdeğer doğru mantık ne olurdu? HOL veya PROP?

— lambda2

Curry-Howard ile ilgili olarak, bunun HOL olacağını düşünmüyorum. Belki de sezgisel PROP'un çarpımsal parçası, yani "veya" içermeyen sezgisel PROP. Ama bu CCC (kartezyen kapalı kategori) içindi ve şu anda biraz yorgunum. Lambda muhtemelen CCC'deki "üstel" olan "ima" olarak çevrilecektir. CCC'den "ürün" "ve" idi, bu nedenle STT'de bunun için bir "çift" e ihtiyacınız olacaktır. Ve "veya" STT'de bir "toplam" türü, yani ayrık bir birlik, belki bir "a" sonra "b" başka "c" bunu yaparsa.

— Thomas Klimpel

Sanırım bir şeyi (ya da her şeyi) karıştırıyorum. Eğer STT ~ = PROP (Curry-Howard üzerinden) ve STT de HOL ise, o zaman PROP'u bir anlamda HOL?

— lambda2

@ThomasKlimpel: Yorumlarınızı bir cevaba dönüştürmelisiniz.

— cody

Ayrım şudur: STLC, tip seviyesi ekleme yapıcılarında ilkel bir dil olarak alınırsa ve size HOL'nin tam ifade gücünü vermek için az sayıda aksiyom yeterlidir.

Alarak sayıların temel tür olarak ans önermeler temel tür olarak, sabitler ekleyebilir $\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

Burada isteğe bağlı bir türdür (yani her tür için bir sabit). Bir olası aksiyom seti: $\tau$ $\forall$

\frac{ϕ (x)}{\forall_{τ} (λ x . ϕ (x))} x : τ not free in the hypotheses

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ ϕ \end{matrix}}{ψ \supset ϕ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

burada hipotezi aracı olan deşarj . İlginç gerçek: Diğer ... sadece bu 2'den türetilebilir. $[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

Bu incelik, Curry-Howard-de Bruijn (Martin-Löf) yazışmasının gösterdiği gibi, kanıtları temsil etmenin bir yolu olarak -terms'i ya da üzerinde çalıştığınız terimleri temsil etmenin bir yolu olarak ayrım yapmaktadır. İki görüş elbette uyumsuz değil. $\lambda$

Özellikle, HOL'yi (tabii ki çeşitli aksiyomları eksi) sadakatle temsil eden bir hesabı vardır. Bu , İnşaatlar Matematiğinin bir alt sistemi olur ve İnşaatlar Hesabı ve Üst Düzey Mantık'taki Geuvers tarafından ayrıntılı olarak açıklanmaktadır . Aynı zamanda ikisi arasındaki farkları da detaylandırıyor (CoC, HOL'nin konservatif bir uzantısı değildir). $\lambda$

— cody
kaynak

Not vermeyi unuttum: Thomas'ın önerdiği bazı akıllı aksiyomlarla birlikte eklerseniz ve eklemekten .

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

— cody

Bu zeki aksiyomlar neler, lütfen? Bu eşitliği kanıtlamak için bir yol sağlamakla ilgili sanırım… Ayrıca, HOL uzantılarının seviyelerini açıkça ayırt etmek için bir ad biliyor musunuz? (eşitlikle, sonra polimorfik tiple, sonra bağımlı tiplerle).

— Hibou57

@ Hibou57 aksiyomlar, Basit Yazı Teorisinin Yedi Fazlası mükemmel makalesinde ana hatlarıyla verilmiştir . STT'nin kullandığınız dışında farklı uzantılarını ayırt etmek için açık isimler olduğunu bilmiyorum.

— cody