Martin-Löf tipi teorinin minimal özellikleri

Martin-Löfs tip teorisinin ( HoTT kitabının eki) resmi sunumunu okuyorum . Yazarlar evrenlerin bir hiyerarşisini, daha sonra ve ayrıca tiplerini ve doğal sayıları ( ve indüktif olarak) ortaya koyarlar . Sonunda daha yüksek endüktif tipler de eklerler . $\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$ $W$ $\mathbb N$ $0$ $succ$

Ama sonra merak ediyorum neden teori şartnamesinde yapmak gerekiyor . Yok mu ve ve cebirsel sahip vücut bulma, veri türleri -types yeterli durumdadır kurmak? Örneğin ilk cebir yaklaşımıyla. (Ya da en azından MLTT'den HoTT'ye geçtikten sonra endüktif tipler vardır - sonuçta, tamsayıları teori içinde daire tipinin homotopi grubu olarak ortaya çıkar .) $\mathbb N$ ${\bf 1}$ $+$ $W$ $\mathbb Z$ $\mathbb S$

Yoksa başlangıçta, sunumda hemen yanında tanımlanan ilkel özyineleme ihtiyacımızla mı ilgili ? Bu benim sahip olduğum bir fikir çünkü o çerçevede "tanımın nasıl tanımlandığını" ya da dilin genişletilmesinin resmi olarak nasıl çalıştığını tam olarak bilmiyorum. Evren hiyerarşisi tanımlandığında en azından gayri resmi bir sayı ve "büyük" kavramının zaten kullanıldığını tanıdığımı ekleyebilirim. $\mathbb N$

Birinin yedeklemesi ve şartnamenin çok az olmaması durumunda, prensip olarak düşebilecek başka öğeler var mı? Örneğin hayal olabilir ve ardından bazılarının kombinasyonu gelen , ama bunu yapmak mümkün değildi. $\mathbb N$ $\bf 2$ $+$ $\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

type-theory

— Nikolaj-K
kaynak

$\mathbb{N}$

$W$ $0$ $2$ $1$ $0 \to 0$ $+$ $2$ $\Sigma$ $1 + 1 + \cdots + 1$

$0$ $\Pi$ $\Sigma$ $1$ $2$ $0$

$\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $0$ $1$ $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $(-1)$

— Andrej Bauer
kaynak

1 \equiv (0 \to 0)

${\bf 1}\equiv({\bf 0}\to {\bf 0})$

(λ x . x) : (0 \to 0)

$(\lambda x.x):({\bf 0}\to {\bf 0})$

Π

$\Pi$

λ x . x

$\lambda x.x$

W

$W$

0

${\bf 0}$

1 =_{U} 2

${\bf 1}=_U{\bf 2}$

0

$0$

1 =_{U} 2

$1 =_U 2$

U

$U$

0

$0$

0

$0$

Π

$\Pi$

Σ

$\Sigma$

1

$1$

2

$2$

0

$0$

Π

$\Pi$