Kolmogorov karmaşıklığı nesnel bir işlev midir?

Turing makinelerinin ve evrensel bir Turing makinesinin (U) girişindeki (T, x), x girişindeki T çıkışlarını (muhtemelen her ikisi de sonsuza dek çalışan) çıkardığı bir kodlamasını düzeltelim. X, K (x) 'in Kolmogorov karmaşıklığını, en kısa programın uzunluğu (p) olarak tanımlayın, öyle ki U (p) = x.

Tüm n> N için K (x) = n olan bir x olacak şekilde bir N var mı?

Remark. Evrensel Turing makinelerini farklı bir şekilde tanımlarsak, cevap olumsuz olabilir. Örneğin, (T, x) uzunluğu 100 ile bölünebiliyorsa (aksi halde hiçbir şey yapmıyorsa) (T, x) girişindeki T'yi x üzerinde T simüle eden bir U düşünün. Bu örnek, evrensel Turing makinelerinin farklı tanımları için karşı örnekler elde etmek için çeşitli şekillerde değiştirilebilir.

— domotorp
kaynak

İstediğinizden çok uzak, ama sanırım imajının bağımsız olarak pozitif doğrusal yoğunluğa sahip olduğunu kanıtlamak zor değil . Bu, örneğin nin sonsuz sıklıkla bileşik olduğunu ima eder .

K

$K$

U

$U$

K (x)

$K(x)$

— Dan Brumleve

Derin bir kavrayışa sahip olmayan genişletilmiş bir yorum: Belki de bir Turing makinesinin kodlamasını hile yapabilir ve hedef Kolmogorov karmaşıklığına yol açan yapay bir kodlama oluşturabilirsiniz:

$0$ , çıkışını yapan Turing makinesini temsil eder (1 durum TM); $0$
$0p$ , ( artı bir ikili dize ile temsil edilen sayı) çıktısı veren Turing makinesini temsil eder ; basitçe çıktısı veren karar verilebilir bir TM'nin örtük bir "sıkıştırılmış" versiyonudur ; $p+1$ $p$ $p+1$
$1p$ , standart bir numaralandırmada 1'inci Turing makinesini temsil eder (numaralandırma, halihazırda ve ile birlikte verilen TM'leri atlayabilir ). $p+1$ $0$ $0p$

girişindeki karşılık gelen evrensel TM, değerinin ne olduğunu kontrol eder , eğer ise, o zaman sadece , aksi takdirde TM ( boş dize olduğunda ); in girişleri unutmayın . $bx$ $b$ $0$ $x+1$ $M_{x+1}$ $M_0$ $x$ $M_{x+1}$

Tüm dizeler için , ; ve tüm vardır uzunlukta şeritler fakat orada sadece uzunlukta programları olduğu kullanılarak temsil edilebilir kodlama; ve sadece uzunlukta programları olduğu kullanılarak temsil edilebilir kodlama; bu nedenle, uzunluğunda en az bir dizesi , uzunluğunda bir program ile temsil edilemez ; ama kesinlikle programı ile temsil edilebilir $x$ $1 \leq K(x) \leq |x|+1$ $n \geq 1$ $2^{n}$ $n$ $2^{n-1}-1$ $< n$ $1p$ $2^{n}-1$ $n$ $1p$ $x'$ $n$ $1p$ $\leq n$ $0x'$ uzunluğunda ( aynı uzunlukta oluşturan aynı program varsa endişelenmiyoruz ). $n+1$ $1p$ $n+1$

Hepimiz için şu sonuca varabiliriz , bir dize vardır böyle (böylece bu özel K örten). $n > 1$ $x', |x'|=n$ $K(x') = n+1$

— Marzio De Biasi
kaynak