Grothendieck'in programının TCS'ye etkisi

Grothendieck vefat etti . 21. yüzyıla devam eden 20. yüzyıl matematiğine büyük etkisi oldu. Bu soru bir şekilde, örneğin Alan Turing'in Bilgisayar Bilimine Katkıları'nın tarzında / ruhunda sorulur .

Nelerdir Grothendieck teorik bilgisayar bilimi üzerine 'nin başlıca etkiler?

Grothendieck'in eşitsizliği , işlevsel analizdeki günlerinden beri, başlangıçta tensör ürün uzayları üzerindeki temel normları ilişkilendirdiği kanıtlandı. Grothendieck, eşitsizliği "tensör ürün uzaylarının metrik teorisinin temel teoremi" olarak nitelendirdi ve 1958'de, Fransızca'da sınırlı bir tirajlı Brezilya günlüğünde şimdi ünlü bir makalesinde yayınladı. Kağıt, Lindenstrauss ve Pelczynski tarafından yeniden keşfedilene kadar 15 yıl boyunca büyük ölçüde göz ardı edildi (Grothendieck fonksiyonel analizden ayrıldıktan sonra). Makalenin ana sonuçlarında birçok reform yaptılar; bu, operatörleri ve faktörizasyon normlarını tamamen toplayan araştırmalarla ilgili ve Grothendieck'in daha sonra ortaya çıkan "açık" sorunları çözdüğünü gözlemledi.makale yayınlandı. Pisier, eşitsizliği, varyantlarını ve anketindeki fonksiyonel analiz üzerindeki muazzam etkisini çok ayrıntılı olarak açıklıyor .

Grothendieck'in eşitsizliği, kombinatoryal optimizasyon ve yaklaşım algoritmaları dilinde çok doğal olarak ifade edilir. Dışbükey olmayan NP sert optimizasyon probleminin yarım sonsuz gevşemeyle sabit bir sabite yaklaşılır \ max \ {\ sum_ {i, j} {a_ {ij} \ langle u_i, v_j \ rangle}: u_1, \ ldots, u_m, v_1, \ ldots, v_n \ \ mathbb {S} ^ {n + m-1} \} içinde, burada \ mathbb {S} ^ {n + m-1} , \ mathbb {R} ^ {n + m}maksimum { Σ i , j bir i j ⟨ u ı , v j ⟩ : u 1 , ... , u m , v 1 , … , v n ∈

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ R , n + $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. Eşitsizliğin kanıtları "yuvarlama algoritmaları" verir ve aslında Goemans-Williamson rasgele hiper düzlem yuvarlama işi yapar (ancak asgari bir sabit verir). Bununla birlikte, Grothendieck'in eşitsizliği ilginç çünkü yuvarlama algoritmasının analizi "global" olmalı, yani birlikte amaç fonksiyonunun tüm şartlarına bakın.

Bunu söyledikten sonra, Grothendiecks'in eşitsizliğinin bilgisayar bilimlerinde ikinci (üçüncü? Dördüncü?) Bir yaşam bulması şaşırtıcı olmamalıdır. Khot ve Naor çoklu uygulamalarını ve kombinasyonel optimizasyonla bağlantılarını araştırıyor .

Hikaye burada bitmiyor. Eşitsizlik, kuantum mekaniğindeki Bell eşitsizliği ihlalleri ile ilgilidir (bkz. Pisier'in makalesi), Linial ve Shraibman tarafından iletişimin karmaşıklığı üzerine çalışmalarda kullanılmış ve hatta özel veri analizi (utanmaz fiş) çalışmasında yararlı olduğu görülmüştür .

Grothendieck'in etkisi tip teorisi ve mantıkta hissedilir. Örneğin, Bart Jacobs'un 700+ sayfa hacmi Kategorik Mantık ve Tip Teorisi , çeşitli tip teorilerin tek tip bir muamele görmesini sağlar ( tipi teori, burada Grothendieck liflerinin kategorik kavramına dayanan ) (ayrıca kartezyen lifler olarak da adlandırılır). Benzer şekilde, Topos kavramı da Grothendieck'e bağlı olarak, mantıksal ve mantıkçılara kategorik anlambilim sağlamada ve aynı zamanda hem mantıkçılara hem de teorik bilgisayar bilimcileri için ilgi çekici olan teorilerde büyük rol oynamaktadır.X ⊆ { basit , bağımlı , polimorfik , daha üst düzey $X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

adik kohomoloji, cebirsel çeşitler için nokta sayma formüllerinde etale kohomoloji uygulamalarında eserleri vardır.$p$

Mulmuley'in Riemann hipotezinin Weil varsayımlarından gelen sonlu alanlar üzerinde genelleştirilmesi vizyonunun, ilk olarak Grothendieck'in etale kohomolojisinden verimli sonuçlar alan sorular sormak olarak düşünülebileceğini tahmin ediyorum.