Gerçek ya da uygun realitelerin hesaplama karmaşıklığının tanımını nasıl değerlendirebilirim?

Bildiğimiz gibi, algoritmanın hesaplama karmaşıklığının tanımı neredeyse tartışmasızdır, ancak gerçeklerin veya hesaplama modellerinin gerçekler üzerindeki hesaplama karmaşıklığının tanımı böyle bir durumda değildir. Hesaplanabilir Analiz kitabında Blum ve Smales modelini ve modelini biliyoruz. Ve görünüşte, Hesaplanabilir Analiz'deki model klasik modelle tutarlıdır, ancak gerçeklerin hesaplama karmaşıklığının tanımı klasik modele dönüştürülemez.

Gerçek ya da uygun realitelerin hesaplama karmaşıklığının tanımını nasıl değerlendirebilirim?

Ve gerçeklerin hesaplama karmaşıklığının tanımını klasik modele nasıl nakletebilirim?

Sorunun burada olduğundan tam olarak emin değilim, ancak olası yanlış anlamaları temizlemek için biraz söylemeye çalışabilirim.

Biz haritası karmaşıklığı bahsediyoruz eğer Öncelikle, , yapar hiçbir anlamı için iyi bir temsilidir Ne" sormak $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ? "Bunun yerine,"f'nintümgirdileriiçin iyi bir temsil nedir? "Sorusunu sormalısınız. Ayrık matematikte durumu daha kolay biriyle karşılaştırın: Bir grafiği girdi olarak alan bir algoritmayı tartıştığınızda, sormak "biz bir adjancency listesi olarak veya bir ikili matriste? olarak Petersen grafiği temsil etmelidir" ancak bunun yerine otomatik olarak düşünmektekdüzetüm grafikler için çalışacak temsil.$\sqrt{2}$$f$

Başka bir uyarı. Giriş verilerinin temsil yapabiliriz değiştirerek zaman yapmak için: trivially hesaplanabilir: (a olmayan hesaplanabilir da dahil olmak üzere) herhangi bir sorun yapmak , hesaplanabilir elemanlarını temsil etmektedir A çiftleri olarak ( bir , f ( a ) ) . Sonra ikinci projeksiyonla f'yi "hesaplayabilirsiniz" . Bu, verileri temsil etmenin ne anlama geldiğine dair açık ölçütlere ihtiyacımız olduğunu gösterir.$f : A \to B$$A$$(a, f(a))$$f$

Birkaç kez unsurlarını temsil etmek için gerekenleri yazdım . Cevap bağlıdır yapı içinde Ar sen yakalama çalışıyoruz. Hiçbir yapı yakalamaya çalışmıyorsanız, örneğin tüm gerçekleri boş listeyle temsil edebilirsiniz. R'nin temsili için makul bir koşullar listesi , şöyle olması gerektiğidir:$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

1. , × , - , / aritmetik işlemler ve mutlak değer hesaplanabilir | - | .$+$$\times$$-$$/$$|{-}|$
2. Bir gerçek (temsilini) alan bir program vardır ve k ∈ N ve çıkışlar tamsayı s , q, öyle ki | x - p / q | ≤ 2 - k , yani keyfi olarak iyi rasyonel yaklaşımları hesaplamak mümkündür.$x$$k \in \mathbb{N}$$p, q$$|x - p/q| \leq 2^{-k}$
3. ve y realitelerini (temsillerini) alan ve yalnızca x < y , yani katı sıra yarı-doğrulanabilirse sonlanan bir program vardır.$x$$y$$x < y$
4. dizisinin (gösterimlerinin) verildiği şekilde | x n + 1 - x n | ≤ 2 - n sınırı için bir temsili lim n x n hesaplanabilir.$(x_n)_n$$|x_{n+1} - x_n| \leq 2^{-n}$$\lim_n x_n$

Bu koşulların neden doğru olduğunu açıklayan eski teoremler vardır ( referanslar için bu makaleye giriş ). Bu teoremler ayrıca, gerçeklerin bu türden herhangi iki temsilinin tamamen izomorfik olduğunu, yani bunlar arasında programlar ile çevirebileceğimizi gösterir. Bu, hatalı fikirleri ortaya çıkaran doğruluk için bazı kriterler belirler.

Örneğin, insanların "rasyonel sayılar sonlu bilgilerle temsil edilebildiğini" duyduklarını duyuyorum, bu yüzden bunu rasyonel sayılar için kullanalım ve irrasyonel sayıların sonsuz bilgi ile temsil edilmesi gerekecek "diyelim. Bu tür bir şey işe yaramaz çünkü yukarıdaki dördüncü koşulu ihlal eder (irrasyonel sayıların bir sınırını düşünün - bunun rasyonel hale geldiğini nasıl anlayacaksınız?).

Yukarıdaki koşulların ortadan kaldırdığı bir başka örnek, Blum-Shub-Smale modelidir, çünkü içinde dizilerin sınırlarını hesaplayamazsınız. BSS modelinin, realitelerin kendisinde değil, farklı bir sıralı realit alt alanında (mevcut parametreler tarafından üretilen) üretildiğini söylemek daha iyidir.

Gerçeklerin doğru gösterimleri arasında bazıları diğerlerinden daha etkilidir, ancak bu tartışılması biraz zor bir konudur, çünkü gerçek sayılar sonsuz nesnelerdir. Matthias Schröder işaret karmaşıklığı birinin makul bir teori vardır için temsil topolojik özelliklerine dikkat etmek söyledi.

Son olarak, nasıl bir harita karmaşıklığını ölçmek gerekir biz iyi bir şekilde temsil sahip varsayarak, R ? Çünkü x ∈ R, bir işlev ya da bilgi sonsuz akımı, ya da bazı, örneğin, biz biri kullanıyor olmalıdır ile temsil edilir karmaşıklığı daha tipi kavramları . Hangisi muhtemelen kullandığınız gösterime bağlıdır.$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$\mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}$

BSS modeli aynı zamanda aritmetik işlemleri saydığımız makul bir devre karmaşıklık modelidir. Bu modelin gerçek sayılarla ilgili olmadığını, başka bir şeyle ilgili olduğunu unutmamak gerekir.

$<_{k}$$O(t)$$O(t)$$O(t)$$O(t^{2}log(t)log(log(t)))$. Belirtilen topolojik düşünceler yararlı olduğu için, bu hesaplama modeli için geliştirilen ve gerçek hesaplamalara izin veren herhangi bir topolojik bağlam olup olmadığını bilmemektedir - ki bu da kesinliği belirsizdir.