Sipariş

Tam kuantum algoritmaları hakkında fikirleri düşünüyorum. Özellikle, keyfi bir sonlu kapı seti üzerinde çoklu zaman üniformalı kuantum devre aileleri tarafından tam olarak karar verilebilen dillerden oluşan olası sınırlamalarını düşünüyorum . $\mathsf{EQP}$

verilen kuantum Fourier dönüşümü (QFT) kuantum bilgisayar teorinin ünlü bir parçasıdır. Durumunda , orada iyi bilinen ayrışma Hadamards içine swap kapıları ve çapraz kapıları

F_{N} = \frac{1}{\sqrt{N}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{N - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{N - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{N - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{N - 1} & ω^{N - 2} & ω^{N - 3} & \dots & ω^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] for ω = e^{2 π i / N},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{C Z}_{2^{T}} = d i a g (1, 1, 1, e^{2 π i / 2^{T}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$

Açıkçası, Solovay-Kitaev teoremi ile, ters çevrilmiş kapalı herhangi bir evrensel kapı seti ile keyfi olarak veya kapılarına yaklaşabiliriz. Bilmek istediğim, bu operatör ailelerini tam olarak anlayabilen sonlu bir geçit seti olup olmadığı ya da bu tür sonlu bir geçit setinin bulunmadığına dair bir kanıt olup olmadığından şüphelendiğim şey. $F_{2^n}$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$

Soru. Ya da bir ayrışma var sonlu kapı seti veya bu imkansız olduğu bir kanıtı bir polytime üniform devre aile olarak? $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$

quantum-computing circuit-families

— Niel de Beaudrap
kaynak

Hayır, ailesinin tamamının tek bir sonlu geçit kümesinde . İşte nedeni. $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

QFT'ler yalnızca rasyonel sayıların karmaşık cebirsel kapanışı olan üzerindeki katsayıları içerir . [ Adleman + Demarrais + Huang – 1997 ] ' ye benzer bir şekilde , herhangi bir aşkın sayı içeren kapılar içeriyor olsaydı, minimum bir dizi transandantal ve kapı katsayılarını tanımlayabiliriz temelde rasyonel işlevler . Bu tür kapıların bir ürünü olarak QFT'yi elde etmek için, tüm aşkın bileşenlerin iptal edilmesini ayarlamalıyız (her bir kapının üniter olmasını sağlamak için benzer bir şey olmalıdır); ama sonra tüm aşkınları ile değiştirebiliriz $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ , böylece tüm katsayılar cebirsel olur. Bu yüzden kendimizi genellik kaybı olmadan cebirsel geçit setleriyle sınırlıyoruz.

üzerine ayarlanmış bir sonlu geçidin katsayılarının tümü , bu çok katsayılarla genişletilerek inşa edilebilen sonlu dereceli bir uzantısında bulunabilir . Bununla birlikte, kapıları, açıkça derece , yani sınırsız derece üzerindeki alan uzantılarına ait katsayılara sahiptir . Bu nedenle, numaralı QFT ailesi, herhangi bir sonlu geçit kümesine ayrışmaz. $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

Sonuç olarak, 'de sınırsız boyuttaki döngüsel halkalar üzerinde QFT'lere dayanan herhangi bir algoritmaya sahip olmayı ümit edemeyiz. $\mathsf{EQP}$

— Niel de Beaudrap
kaynak