Karar verilebilir kanıtların eşitliği?

Aynı önermenin iki karar verilebilir kanıtının eşitliğinin karar verilebilirliğinin Endüktif Yapılar Analizinde ek aksiyomlar olmadan kanıtlanıp kanıtlanamayacağını bilmek istiyorum.

Özellikle, Coq herhangi bir ek aksiyom olmadan bunun doğru olup olmadığını bilmek istiyorum.

\forall P : Prop, P \lor \neg P \Rightarrow (\forall p_{1} : P, \forall p_{2} : P, {p_{1} = p_{2}} \lor {p_{1} \neq p_{2}})

$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$

Teşekkürler!

Hatayı düzeltmek için düzenlendi: PropDaha açık yapmak için 2'yi düzenleyin

coq constructive-mathematics calculus-of-constructions

— Adam Barak
kaynak

Yazdıklarınız mantıklı değil. Eğer

P

$P$ o zaman bir teklif

p : P

$p : P$ bir delildir ve oluşturamazsınız

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$ . Var olmak için hipotezinizi mi kastettiniz

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$ onun yerine

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$ , yani, "

P

$P$ ? Karar verilebilen "dır

— Andrej Bauer

Üzgünüm, hipotezi kastediyorum "

P

$P$ karar verilebilir ", yani

P \lor \neg P

$P \vee \neg P$

— Adam Barak

almak

P

$P$ olmak

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ve ifade yanlıştır, çünkü kolayca yaşayabilirsiniz

(N \to N) \lor \neg (N \to N)

$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$ ile

i n l (λ x . x)

$\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$ ve işlev denkliği açıkça kararsızdır. Üzerinde başka koşullar var mı

P

$P$ aklınızda mı var?

— Neel Krishnaswami

P bir öneri olmalıdır. (Aslında, gelişimimde zaten işlevsel uzantısallık kullanıyorum, bu yüzden ifade hala benim için tutabilir, ancak şimdilik fonksiyonel / önerisel uzantılığı görmezden gelelim).

— Adam Barak

İşlev genişletilebilirliği, işlev denkliğinin karar verilebileceği anlamına gelmez ... Ve Neel'in cevabı genel durumu belirler: P (yerleşik) sonsuz bir türse (fazladan aksiyom dahil edilmemişse bazı önermeler içerir), sonuç başarısız olur tutmak

P \to P

$P\rightarrow P$ .

— cody

Neel'in "önermeler türler" altında çalışıyorsanız, eşitliği karar verilemeyen bir türle kolayca karşılaşabilirsiniz (ancak elbette tüm türlerin karar verilebilir eşitliğe sahip olduğunu varsaymak tutarlıdır). $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ .

Eğer "öneri" yi daha kısıtlı bir tür olarak anlarsak, cevap tam olarak ne demek istediğimize bağlıdır. Eğer bir Proptür inşaatlar hesabında çalışıyorsanız, hala karar verilebilir önermelerin karar verilebilir eşitliğe sahip olduğunu gösteremezsiniz. Bu böyledir çünkü yapıların analizinde Propispatla alakalı tipte bir evrenle eşdeğer olması tutarlı olduğundan , bildiğiniz her Propşey için $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ . Bu aynı zamanda Coq'un fikri için teoreminizi kanıtlayamayacağınız anlamına da gelir Prop.

Ancak her durumda, en iyi cevap homotopi tipi teoriden gelir. Bir tür teklif var $P$ hangisi tatmin

\forall x, y : P . x = y .

$\forall x, y : P \,.\, x = y.$ Yani, bir önerinin en fazla bir unsuru vardır (kanıtla ilgisiz bir doğruluk değeri olarak anlaşılacaksa olması gerektiği gibi). Bu durumda cevap elbette olumludur çünkü teklifin tanımı derhal eşitliğinin karar verilebilir olduğunu ima eder.

"Önerme" ile ne demek istediğinizi merak ediyorum.

— Andrej Bauer
kaynak

Nasıl olurdu

N \to N

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ içeride Prop? Teşekkürler!

— Adam Barak

İnşaat hesabında aşağıdakileri engelleyen hiçbir şey yoktur

P r o p = T y p e

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$ , var mı?

— Andrej Bauer

Buradaki karışıklık, "coq sistemi" ile kastedilenle ilgilidir. Eğer "yapıların hesabı" ise, o zaman

P r o p = S e t = T y p e

$\mathtt{Prop=Set=Type}$ . Daha doğru "1 Etkileyici Evren ile Endüktif Yapılar Hesabı" ise

T y p e

$\mathtt{Type}$ evren düzeyinde ek açıklamalar olmadan anlamsızdır. Bildiğim kadarıyla,

T y p e_{1} = P r o p

$\mathtt{Type_1=Prop}$ tutarlı bir aksiyomdur (ince nedenlerden dolayı EM ile tutarsız olsa da).

— cody

Elbette, üzerine bir endeks takmalıyız

T y p e

$\mathtt{Type}$ . @AdamBarak'ın anlaması gereken nokta şudur: çünkü

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ Coq'ta herhangi bir çelişkiye yol açmazsa, Coq'ta bir şeylerin yapılamayacağını gösterebilirsek,

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ .

— Andrej Bauer

Hala doğru değil, çünkü Coq'da fonksiyonel eşdeğerliğin kararsız olduğunu gösteremeyiz. Eşitlik ifadesi

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ Martin Escardo'nun yapıcı bir tabu dediği şeydir: Coq'ta ne kanıtlanabilir ne de çürütülemez. Yani doğru argüman: if

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ sonra

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ bir öneri ve "eşitlik

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ispat edilebilir "ifadesi kanıtlanamaz. (Bununla birlikte:

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (yanlıştır).

— Andrej Bauer