Yazılan lamda calculi verilen bir karmaşıklığın altındaki * tüm * algoritmaları ifade edebilir mi?

Y kombini ilkelsiz birçok tipte lambda taşı türünün karmaşıklığının sınırlandırıldığını biliyorum, yani sadece sınırlı karmaşıklığın işlevleri, tür sisteminin ifadesi arttıkça sınır büyüdükçe ifade edilebilir. Mesela, Yapıların Hesaplamasının, en fazla iki katı üssel karmaşıklığı ifade edebileceğini hatırlıyorum.

Benim sorum yazılan lambda hesabının belirli bir karmaşıklığın altındaki tüm algoritmaları mı yoksa sadece bazılarını mı ifade edebileceği ile ilgilidir. Örneğin, Lambda Küpü'ndeki herhangi bir formalizm tarafından açıklanamayan üstel zaman algoritmaları var mı? Küp'ün farklı köşeleriyle tamamen kapsanan karmaşıklık alanının "şekli" nedir?

Kısmi bir cevap vereceğim, umarım başkaları boşlukları doldurur.

Yazılan olarak -calculi, tek veri zamanki temsilciliklerine bir tür verebilir ( N bir t Kilise için (tekli) tamsayılar, S t r ikili dizeleri, B o o l Booleans için) fonksiyonlarının karmaşıklığı ne ve merak / sorulan terimlerle temsil edilebilir / karar verilebilir. Sadece bazı durumlarda kesin bir cevap biliyorum ve basitçe yazılan durumda “temsil edilebilir / karar verilebilir” olarak tanımlanırken kullanılan sözleşmeye bağlı. Her neyse, iki kat üstel bir üst sınırın olduğu bir durumdan haberim yok.$\lambda$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Bool}$

İlk olarak, Lambda Küpü hakkında kısa bir özet. 8 hesabı, basitçe yazılan analizin (STLC) üstüne aşağıdaki 3 tür bağımlılığın etkinleştirilmesi veya devre dışı bırakılmasıyla elde edilir :$\lambda$

• polimorfizm : terimler türlere bağlı olabilir;
• bağımlı tipler : tipler terimlere bağlı olabilir;
• üst düzey : türler türlere bağlı olabilir.

(Terimlerin terimlere bağımlılığı her zaman oradadır).

Sistem F. İşte polimorfizmi vermektedir ekleme, sizinle Kilise tamsayılar yazabilirsiniz ve benzer şekilde ikili dizgiler ve Boolean'lar için. Girard, System a tipinin N a t → N a t terimlerinin , toplamı Peano aritmetiğiyle ikinci dereceden kanıtlanabilecek sayısal fonksiyonları temsil ettiğini ispatladı . Yani sınıf çok büyük bu yüzden, Ackermann fonksiyonu şöyle dursun fonksiyon içinde küçücük mikrop bir tür, (gerçi tercih herhangi bir biçimde olmadan) hemen hemen hergün matematik var 2 $\mathsf{Nat}:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$ . Sistem F'de temsil edilemeyen herhangi bir "doğal" sayısal fonksiyon bilmiyorum. Örnekler genellikle köşegenleştirme ile inşa edilir veya ikinci dereceden PA'nın veya diğer kendinden referanslı hilelerin tutarlılığını kodlar (Sistem içindekiβ-eşitliğinekarar vermek gibi)F kendisi). Eğer tekli tamsayılar arasında dönüştürebilirsiniz Sistem F TabiiNbirtve bunların ikili gösterimiStrilk kısmını 1 olup olmadığını, örneğin, sonra testin türünün şartlarına Karar verilebilen problemlerin sınıf (şimdiyeStr→Bool) eşit derecede büyük.$2^{2^n}$$\beta$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Str}\rightarrow\mathsf{Bool}$

Polimorfizm Lambda küp diğer 3 taş Sistem F dışavurumu gibi en az Bunlar bu nedenle Sistem F ω tam olarak yüksek sıralı PA kanıtlanmıştır toplam fonksiyonlarını ifade edilebilir (polimorfizm + daha yüksek), ve Hesabı Küp'ün en etkileyici hesabı olan yapılar (CoC) (tüm bağımlılıklar etkindir). CoC’un aritmetik kuramlar veya küme kuramlar anlamındaki ifadelerinin karakterizasyonunu bilmiyorum, ama oldukça korkutucu olmalı :-)$_\omega$

Sadece bağımlı tipler (esasen eşitlik ve doğal sayılar olmadan Martin-Löf tip teorisi), daha yüksek dereceli tipler veya her ikisini de sağlayarak elde edilen hesaplamalar konusunda çok daha cahilimdir. Bu hesaplarda, türler güçlüdür ancak terimler bu güce erişemez, bu yüzden ne elde ettiğinizi bilmiyorum. Hesaplamalı olarak, basit tiplerden daha fazla ifade edeceğinizi sanmıyorum, ancak hatalı olabilirim.

Böylece STLC'ye bıraktık. Bildiğim kadarıyla, bu ilginç (yani, canavarca büyük değil) karmaşıklığı üst sınırlara sahip tek Küp hesaplamasıdır. Orada bir olan bu konuda cevapsız soru TCS.SE üzerinde ve aslında durum biraz ince olduğunu.

Öncelikle, bir atomunu düzeltir ve N a t : = ( X → X ) → X → X tanımlarsanız , Schwichtenberg'in sonucu vardır (bu kağıdın ingilizce çevirisini web üzerinde bir yerde olduğunu biliyorum ama bulamıyorum. Şimdi, size N a t → N a t tipindeki fonksiyonların tam olarak uzatılmış polinomlar olduğunu söyler (if-then-else ile). Biraz "gevşekliğe" izin verirseniz, yani X parametresinin istenildiği zaman başlatılmasına izin verirsiniz ve N a t$X$$\mathsf{Nat}:=(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$$X$ ile bir keyfi daha temsil edilebilir. Örneğin, üstellerin herhangi bir üssü (yani iki kat üstelin çok ötesine gidebilirsiniz) ve selef işlevinin tümü, ancak hala çıkarma yok (ikili işlevi göz önünde bulundurarak N a t [ A ] → N a t [ A ′ ] → N a t ). Dolayısıyla, STLC'de gösterilebilen sayısal fonksiyonların sınıfı biraz gariptir, temel fonksiyonların katı bir alt kümesidir, ancak iyi bilinen herhangi bir şeye karşılık gelmez.$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}$$A$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}[A']\rightarrow\mathsf{Nat}$

Yukarıda ile belirgin çelişki içinde, orada , bu kağıt , bir geçiş fonksiyonunu kodlamak için Şekil Mairson tarafından rasgele Turing makinesi türe ait bir terim elde edildiği, N bir t [ A ] → Oda o o L bir tür için ( bir bağlı olarak M , bir Church tamsayıdır dikkate alındığında,) n , yürütülmesini taklit giriş olarak M formunun bir dizi adım için sabit bir ilk yapılandırma itibaren 2 2 ⋮ 2 , n$M$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$M$$n$$M$

$$2^{2^{\vdots^{2^n}}},$$ kulenin yüksekliği sabit olarak. Bu etmez STLC (tip ikili bir dizi dönüştürmenin bir yolu yoktur, çünkü her temel sorun, STLC ile Karar verilebilen olduğunu göstermektedir ) girişi temsil M konfigürasyonlarını temsil edilmesi için kullanılır türüne M bölgesindeki Mairson'un kodlaması. Bu yüzden kodlama bir şekilde "tek biçimli" değildir: her girdi için ayrı bir terim kullanarak, temel olarak uzun süren yürütmeleri sabit bir girişten simüle edebilirsiniz, ancak isteğe bağlı girdileri ele alan bir terim yoktur.$\mathsf{Str}$$M$$M$

Aslında, STLC “tekdüze” olarak karar verebildiği konuda son derece zayıf. Let bizi aramak tipi sadece yazılmış şartları Karar verilebilen dillerin sınıf S t r [ A ] → Oda o o l bazıları için A (yukarıdaki gibi, yazarak rasgele "gevşek" izin verir). Bildiğim kadarıyla, C S T kesin bir karakterizasyonu eksik. Ancak, C S T ⊊ L I N T I M $\mathcal C_{ST}$$\mathsf{Str}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$\mathcal C_{ST}$$\mathcal C_{ST}\subsetneq\mathrm{LINTIME}$(deterministik doğrusal zaman). Hem çevreleme hem de katı olduğu gerçeği, çok temiz bir anlamsal argümanla gösterilebilir (sonlu kümeler kategorisinde STLC'nin standart ifade anlamını kullanarak). Eski yakın zamanda Terui tarafından gösterildi . Sonuncusu, esasen Statman'ın eski sonuçlarının bir reformudur. problem örneği BÜYÜKLÜĞE (ikili bir dize verildiğinde, kesinlikle 0'dan daha fazla 1s içerip içermediğini söyleyin).$\mathrm{LINTIME}\setminus\mathcal C_{ST}$

---

(Çok) Daha sonra eklentisi: Sadece çağrı sınıf öğrendim aslında yukarıda gelmez üstelik son derece basittir kesin karakterizasyonu var. Gelen bu güzel 1996 kağıt , Hillebrand ve Kanellakis, diğer şeyler arasında, kanıtlamak olduğunu$\mathcal C_{ST}$

Teorem. ( { 0 , 1 } konumundaki normal diller ).$\mathcal C_{ST}=\mathsf{REG}$$\{0,1\}$

(Bu, Teorem 3.4’ün makalesinde yer almaktadır).

Bu çifte şaşırtıcı bulmak: Ben sonucu kendisi tarafından sürpriz (o hiç aklıma gelmedi öyle bilinen ne kadar az ve tarafından "temiz" böylece şeye karşılık verebilir). Terui'nin L I N T I M E üst sınırına ilişkin kanıtının, Hillebrand ve Kanellakis tarafından kullanılan aynı yöntemleri kullanması eğlencelidir (sonlu kümeler kategorisinde basitçe yazılan λ - calculus'u yorumlar). Başka bir deyişle, Terui (ve kendim) bu sonucu kolayca keşfedebilirlerdi, çünkü bu bir şekilde "garip" bir sınıf olması nedeniyle C S T ile bir şekilde mutlu olduğumuz için değildi.$\mathcal C_{ST}$$\mathrm{LINTIME}$$\lambda$$\mathcal C_{ST}$

(Bu arada, bu cevabımdaki sürprizimi "bilinmeyen teoremler" hakkındaki bir MO sorusuna paylaştım ).

Bir soruya cevap Damiano mükemmel cevabında ortaya attı:

Sadece bağımlı tipler (esasen eşitlik ve doğal sayılar olmadan Martin-Löf tip teorisi), daha yüksek dereceli tipler veya her ikisini de sağlayarak elde edilen hesaplamalar konusunda çok daha cahilimdir. Bu hesaplarda, türler güçlüdür ancak terimler bu güce erişemez, bu yüzden ne elde ettiğinizi bilmiyorum.

$_\omega$

$\lambda{P}$$\lambda{P}\omega$

İndüktif tipler ve büyük elemeler eklerseniz, yapıların empredikatif hesabının gücünün ne olduğunu bilmiyorum.

Damiano'nun mükemmel cevabını tamamlamaya çalışacağım.

$\lambda$$F$ $\mathrm{HA}_2$

$\cal{T}$$\cal{L}$$\cal{T}$$\cal{L}$

$\cal{L}$

• $F$$\mathrm{HA}_2$

• $T$$\mathrm{PA}$$F$

$\lambda$$\mathrm{PTIME}$

Genel olarak bu büyük bir araştırma alanıdır, bu yüzden önceki cevaplarımdan birine atıfta bulunacağım .