En Aza Otomat kabul

Büchi-Automata'nın (ya da Müller-Automata'nın) en aza indirilmesinde standart yaklaşım nedir? Alışılmış tekniğin sonlu kelimelerden aktarılması, yani kabul edilen durumların "tükenmesi" kelimeleri aynı ise, iki durumun eşit olması işe yaramaz. Örneğin, Büchi-Automoton'u, bir başlangıç ​​ve bir son durum olmak üzere iki durumdan oluşan sonsuz sayıda a ile tüm kelimeleri kabul ettiğinizi ve a her okunduğunda son durum girildiğini ve her a farklı sembol okunur. Her iki durum da yukarıdaki tanıma eşit olarak kabul edilir, ancak bunların daraltılması tek bir durumdan oluşan bir otomata verir ve böylece her kelimeyi kabul eder.

Genel olarak, $\omega$ -Normal diller eşsiz asgari dbw olmayabilir. Örneğin, dili "sonsuz bir en çok ve sonsuz sayıda b yönettiği" (resimde yerini iki 3-devlet DBWs vardır $\neg a$ tarafından $b$ ):

Gördüğünüz gibi, bunlar topolojik olarak eşdeğer değildir.

Bu nedenle, minimizasyon problemi sonlu durumdan daha zordur ve aslında NP-tamdır .

Bu soru, kısmen soruna kötü bir yaklaşım nedeniyle 80'lerde birçok literatür yarattı. Bu cevapta özetlemeye çalışacağım oldukça uzun bir hikaye.

1. Sonlu kelimeler vakası

Literatürde minimal bir DFA'nın iki tanımı bulunabilir. Birincisi, normal bir dilin minimal DFA'sını, dili kabul eden minimum durum sayısıyla birlikte tam DFA olarak tanımlamaktır. İkincisi tanımlamak daha uzundur, ancak birincisinden daha matematiksel olarak daha caziptir ve daha güçlü özellikler verir.

Bize DFA unutmayalım ki olduğu erişilebilir herkes için eğer q ∈ Q , bir kelime var u ∈ A * öyle ki i ⋅ u = q . Bu ise tam ise q ⋅ bir bütün için tanımlandığı q ∈ S ve bir ∈ A .$(Q, A, \cdot, i, F)$$q \in Q$$u \in A^*$$i \cdot u = q$$q \cdot a$$q \in Q$$a \in A$

Let ve bir 2 = ( S 2 , bir , ⋅ , i 2 , F 2 ) olması iki tam erişilebilir DFA'ler. A morfizmanın A 1 için A 2 fonksiyonudur φ : Q, 1 → S 2 şekildedir${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$$\mathcal{A}_1$$\mathcal{A}_2$$\varphi:Q_1 \to Q_2$

1. ,$\varphi(i_1) = i_2$
2. ,$\varphi^{-1}(F_2) = F_1$
3. tüm ve a ∈ A , φ ( q ) ⋅ a = φ ( q ⋅ a ) için .$q \in Q_1$$a \in A$$\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

Bir Bu koşullar anlamına olduğunu gösterebilir zorunlu örten (ve bu nedenle | Q 2 | ⩽ | Q 1 | ). Ayrıca, en fazla bir morfizma de orada olan A 1 ile ve bu morfizmanın varsa, o zaman ve aynı dili tanır. Şimdi, bir her dil için bunu gösterebilir , eşsiz tam erişilebilir DFA vardır kabul her tam erişilebilir DFA için ve öyle ki, kabul$\varphi$$|Q_2| \leqslant |Q_1|$${\cal A}_1$A 1 A 2 L A L LALA A L L A L A A${\cal A}_2$${\cal A}_1$${\cal A}_2$$L$${\cal A}_L$$L$$\cal A$$L$, Bir morfizmanın vardır üzerine . Bu otomasyon olarak adlandırılan en az DFA bölgesinin . Yine not olmasıyla durumlarının sayısı bu yana durum sayısı daha küçük , birinci anlamda minimaldir.$\cal A$${\cal A}_L$$L$${\cal A}_L$$\cal A$${\cal A}_L$

Eksik DFA'lar için de uygun bir cebirsel tanım olduğunu belirtmek gerekir. Bkz. [Eilenberg, Automata, Diller ve Makineler , cilt. A, Academic Press, 1974].

2. Sonsuz kelimelere geri dön

İlk tanımı genişletmek, cevabında Shaull tarafından gösterildiği gibi çalışmaz. Ve ne yazık ki, ikinci tanımın evrensel özelliğinin, birkaç özel durum hariç, sonsuz kelimelere uzanmadığını da gösterebilir.

Hikayenin sonu mu? Bir saniye, normal dilleri kabul eden minimal bir nesne daha var ...

3. Sözdizimsel yaklaşım

Önce tekrar sonlu kelimelere dönelim. Bir dil Hatırlatma; arasında olan bir monoid tarafından tanınan varsa, bir örten monoid morfizmanın f : A * → M ve bir alt p ait M bu şekilde f - 1 ( p ) = L . Yine, bir monoid vardır M ( L ) olarak adlandırılan, sentaktik monoid arasında L . Bu sözdizimsel monoid bölümü olarak, doğrudan tanımlanabilir bir * ileA ∗$L$$A^*$ $M$$f:A^* \to M$$P$$M$$f^{-1}(P) = L$$M(L)$$L$ tanır, ve tanıyan tüm Monoids bir bölüm olan $L$$L$$A^*$sözdizimsel uyum bir L , aşağıdaki gibi tanımlanır: u ~ L v  , ancak ve ancak, tüm  x , y ∈ bir $\sim_L$$L$ İyi haber şu ki, bu kez bu yaklaşım sonsuz kelimelere genişletildi, ancak uygun kavramları keşfetmek uzun zaman aldı. İlk olarak, bir sözdizimsel Kongrüens uygun kavramı A. Arnold (rasyonel için sözdizimsel kongrüens tarafından bulundu

$$\text{$u \sim_L v$ if and only if, for all $x, y \in A^*$, $xuy \in L \iff xvy \in L$}$$ $\omega$ diller , Theoret. Comput. Sci. 39 , 2-3 (1985), 333-335). Sözdizimsel monoidleri sonsuz kelimelerin ortamına genişletmek, günümüzde onları tanımlayan ilk Wil Wilke onuruna Wilke cebirleri olarak adlandırılan daha sofistike bir cebir türü gerektiriyordu (T. Wilke, düzenli sonlu ve sonsuz diller için bir cebirsel teori kelimeler, Int. J. Alg. Comput. 3(1993), 447-489). D. Perrin ile birlikte yazılmış Sonsuz kelimeler kitabımda daha fazla ayrıntı bulabilirsiniz .

4. Sonuç

Böylece orada belirli bir düzenli kabul minimal nesnenin bir matematiksel ses kavramıdır -Dil, ancak otomata dayanmaz. Bu aslında oldukça genel bir gerçektir: otomatalar çok güçlü bir algoritmik araçtır, ancak dillerdeki matematiksel soruları tedavi etmek için her zaman yeterli değildir.$\omega$