P = NP ise, Goldbach Konjürasyonu vb. Kanıtlarını alabilir miyiz?

Bu benim uzmanlık alanım dışında, saf bir sorudur; şimdiden özür dilerim.

Goldbach's Conjecture ve matematikteki birçok diğer çözülmemiş sorular, matematik hesabında kısa formüller olarak yazılabilir. Örneğin, Cook'un makalesi "Bilgisayarlar Düzenli Olarak Matematiksel Kanıtları Keşfetebilir mi?" bu varsayımı şöyle ifade eder:

\forall n [(n > 2 \land 2 | n) \supset \exists r \exists s (P (r) \land P (s) \land n = r + s)]

$\forall n [( n > 2 \wedge 2 | n) \supset \exists r \exists s (P(r) \wedge P(s) \wedge n = r + s) ]$

Polinom olarak uzun ispatlara dikkatini kısıtlarsak, bu ispatları olan teoremler NP'dedir. Bu yüzden P = NP ise, örneğin Goldbach's Conjecture'un polinom zamanında doğru olup olmadığını belirleyebiliriz.

Sorum şu: Polinom zamanında da kanıt gösterebilir miyiz?

Düzen . Peter Shor ve Kaveh'un yorumlarına göre, Goldbach'ın varsayımının doğru olup olmadığını, gerçekten de kısa bir kanıtı olan teoremlerden biri olup olmadığını belirleyebileceğimi iddia edebileceğimi belirtmeliydim. Hangisini bilmiyoruz ki!

— Joseph O'Rourke
kaynak

Birincisi, Goldbach'ın varsayımına dair kısa bir kanıt (<1000 sayfa?) Göstermek için kısa bir kanıt bulunmalıdır. P = NP'nin bununla bir ilgisi yok.

— Peter Shor,

@Suresh, @Kaveh: Bunu yanlış anlıyor gibisin. Burada bir NP arama probleminin somut bir örneğine sahibiz. Burada ilgili olan niceleyici , teoremin bir kanıtının (uygun bir resmi sistemde) varlığıdır .

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

Başka bir not, eğer bir algoritmayı gerçekten yazabiliriz, eğer P = NP belirli bir ifadeye kanıt bulabilirse, eğer zaman içinde polinom içinde ifade uzunluğu ve en kısa kanıtın uzunluğu varsa. (Bu polinom, tüm teoremleri tutan bir sınırdır) Bununla birlikte, bir "astronomik" algoritma olacaktır.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

@Joe: Hayır, algoritmayı şu anda yazabilirim! (P = NP olup olmadığını bile bilmeden). Fikir, Levin'in Evrensel araştırması olarak bilinen şeydir.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

@ Kristoffer: Harika! LS hakkında bir şey bilmiyordum. Marcus Hutter'ın LS konusunda bir çeşit iyileştirme olduğunu görüyorum: "Tüm Tanımlı Sorunlar İçin En Hızlı ve En Kısa Algoritma". Uluslararası Bilgisayar Bilimi Temelleri Dergisi, 13 (3): 431-443, 2002.

— Joseph O'Rourke 21

Yanıtlar:

Aslında!

Eğer P = NP ise, sadece Goldbach Konjektifi (veya başka bir matematiksel ifade) için n uzunlukta bir kanıt olup olmadığına karar veremeyiz, aynı zamanda bunu verimli bir şekilde bulabiliriz!

Niye ya? Çünkü şunu sorabiliriz: ilk bit olmak için şartlandırılmış bir kanıt var mı ... ... sonra, ilk iki bit olmak için şartlandırılmış bir kanıt var mı, vb.

Ve n'i nasıl bildin? Tüm olasılıkları artan düzende deneyeceksiniz. Bu olasılıkta bir adım attığımızda, olasılıkların her birinde de bir adım deneriz (i-1).

— Dana Moshkovitz
kaynak

Bu Levin'in evrensel arama algoritması değil mi?

— Muhammed El-Türkistan,

@turkistany: evet, öyle!

— Dana Moshkovitz

Dana soruyu cevapladı. Ancak burada pratik tarafta bazı yorumlar var.

ZFC’de belirli bir cümlenin kanıtlanıp kanıtlanamayacağının kontrol edilemeyeceğini unutmayın. bununla bir yok. (gerçekte ) , GC gibi birinci dereceden cümleler değil, önerme için kanıt bulmak kolay . $P=NP$ $P=NP$ $P=coNP$

Öyle verilen uzunluk belirli bir cümlenin bir kanıt olup olmadığını kontrol etmek (tekli olarak) sabit bir teori (örn ZFC) içinde. Eğer , bunu kontrol etmek için bir polytime algoritması vardır. Alarak bir polytime algoritması ile sonuçlanacaktır cümle uzunluğu bazı sabit polinom olması. $NP$ $l$ $P=NP$ $l$

Pratik olarak (Godel tarafından von Neumann'a yazdığı meşhur mektubunda bahsedilir): , birinci dereceden cümle verilen bir polinom zaman algoritması var ve (unary'de), algoritma cümlenin olup olmadığını bulabilir. ZFC'de bir boyut kanıtı. Godel'in düşüncesi, bu durumda, eğer eşdeğeri gerçekten uygulanabilirse (yani algoritma sadece değil, aynı zamanda ), bu algoritmayı alıp ispatları kontrol etmek için çalıştırabiliriz. Herhangi bir insanın elde edebileceği herhangi bir kanıttan daha büyük olacak mümkün ancak çok büyük olan ve algoritma bir cevap bulamazsa, o zaman cümle pratiktir. $P=NP$ $l$ $l$ $P=NP$ $P$ $DTime(n^2)$ kanıtlamak imkansız. Dana'nın bahsettiği numarası, kanıtı bulmak için burada çalışacak.

Pratik araçlar için:

$P=NP$ yeterli değil, pratikte mümkün olması için algoritmaya ihtiyacımız var, bir algoritma yardımcı olmaz. $DTime(10000n^{10000})$
sadece bir kanıt varsa (yani cümle ZFC'de kararlaştırılamaz bir cümle değilse) bir ispat bulacaktır, ayrıca ispat makul bir şekilde kısa olmalıdır.
o durumda olabilir , ama eğer biz hala örneğin, algoritmik bu mümkün kanıtları bulabilirsiniz . $P\neq NP$ $NP=DTime(n^{\log^* n})$

— Kaveh
kaynak