N-kraliçelerin-tamamlanmasının karmaşıklığı?

27

Klasik ekseni problemleri, pozitif bir tamsayı verildiğinde , aşağıdaki koşulları sağlayan tamsayıların dizisi olup olmadığını sorar : $n$ $n$ $Q[1..n]$

$1\le Q[i] \le n$ tüm $i$
$Q[i] \ne Q[j]$ hepsi için $i\ne j$
$Q[i]-i \ne Q[j]-j$ hepsi için $i\ne j$
$Q[i]+i \ne Q[j]+j$ tüm $i\ne j$

Her bir tam sayı bir kraliçeye konumunu temsil bir inci satır satranç tahtası; Kısıtlamalar, hiçbir kraliçenin başka bir kraliçeye saldırmaması şartını kodlar. Çözüm yoktur kanıtlamak kolaydır veya , ve kapalı bir şekilde çözümler tüm diğer değerleri için bilinen . Dolayısıyla, bir karar problemi olarak, queen problemi tamamen önemsizdir. $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$

Bir queen çözümünü inşa etmek için standart geri izleme algoritması, kraliçeleri sıraların bir önekine spekülatif olarak yerleştirir ve daha sonra tekrarlayan bir şekilde kraliçelerin geriye kalan sıralara yasal bir yerleşiminin olup olmadığını belirler. Özyinelemeli alt problem aşağıdaki gibi resmileştirilebilir: $n$

tamsayısı ve tamsayının dizisi göz önüne alındığında , , queen problemine bir çözümü tanımlayan bir dizisinin öneki midir? $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

Bu daha genel bir karar sorunu NP-zor mu?

Latin meydan tamamlama [ Colbourn 1984 ], Sudoku tamamlama [ Yato ve Seta 2002 ] ve queen'lerin farklı bir genelleştirmesi dahil [ Martin 2007 ] dahil olmak üzere yakınlarda bazı soruların NP zor olduğu bilinmektedir. Herhangi bir ciddi dikkat. $n$

İlgili cstheory.se sorular:

cc.complexity-theory board-games

— Jeffε
kaynak

2

Mevcut Sudoku tamamlama kanıtlarının Sudoku, Latin karesi tamamlama, (ve diğer benzer sorunların tonu) ... gerçekten de örneklerin kısa / öz temsilleriyle (örneğin Latin Kare Tamamlama NPC kanıtı, Colbourn) "NP üyeliği hemen" diyor ancak herhangi bir örnek kodlama sorunundan bahsetmiyor).

— Marzio De Biasi

1

@Marzio: bu ispatlar temsile bağlıdır ve (bu genellikle bahsedilmese de) NP'ye

— András Salamon

16

Yıllar sürdü, ancak bu gönderi bize bugün çıkan bir yazı yazmak için ilham verdi.

Cevap, n Queens Completion'ın NP-Complete olduğu. Ancak tam açıklama için problemin küçük bir türevini çözdüğümüzden bahsetmeliyiz. Bizim durumumuzda kraliçeler kümesinin tüm kümenin öneki olması gerekmez. Teknik olarak burada sorulan tam sorunu çözmedik. Bununla birlikte, bu sorgudaki n Queens Completion versiyonunun NP-Complete olmasaydı çok şaşırtıcı olurdu.

Bu soruyu burada dile getirdiği için gazeteye verdiğimiz teşekkürleri Jeffε'e tekrarlamak istiyorum.

N Queens Karmaşıklık AI Araştırma Dergisi'nin karmaşıklığı Gent, Jefferson, Nightingale doi: 10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.html

— Ian Gent
kaynak

Güzel. Tebrikler!

— Jeffε

Naif bir sorum var: bana göre uzunluğunda (doğru) bir önek varsa , o zaman önek köşegeninin köşegenini kontrol ederek kümesine geçiş yapılabiliyor. . Öyle mi, yoksa bir şey mi eksik? (Ben sonrası özgün sorun olduğu anlamına gelmediğini undestand yapmak doğru önek)

n - 1

$n-1$

n

$n$

— Serg Rogovtsev

6

(Bu, bazı ilgili sonuçlara işaret eder. Başlangıçta ilgili sonuçların çok ilgili olduğunu düşündüm , ancak boşlukları hızlı bir şekilde dolduramıyorum, bu yüzden belki de sonuçta o kadar da ilişkili değiller. Belki de hala yardımcı olurlar.)

Bilgisayar Programcılığı Sanatı, Madde 7.2.2.2'de (taslak) 118. Alıştırmada benzer bir soruna bakılmaktadır . Çözümde, Knuth karşılığında kredi veren bir makaleyi alacak

Gardnera, Gritzmannb, Prangenbergc, Kafes kümelerinin yeniden yapılandırılmasının hesap karmaşıklığı üzerine, X-ışınlarından , 1999

Egzersiz 118, İKİLİ SAYISAL TOMOGRAFİ'nin NP tamamlanmış olduğunu kanıtlar. Bu sorunun girişi, tümü den gelen çizgi ve çapraz toplamlardan oluşur . $[2]=\{0,1\}$

GİRİŞ: ve $r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

ÇIKTI: var mı? öyle olsun ki ve ve ve $x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

Bunu problemine nasıl azaltacağım açık değil. Yardımcı olabilecek bir gözlem sorununuzun çıktısının, kraliçelerin kesin konumlandırmasına değil, sadece toplamlara bağlı olduğudur. (Bkz. Belki de kolayca görülebilmesine rağmen [Rivin, n-Queens Problemine Dinamik Programlama Çözümü, 1992] deki Teorem 2.4 .)

Knuth, BINARY DIGITAL TOMOGRAPHY'nin BINARY CONTINGENCY PROBLEM'inden bir azalma ile NP-tamamlanmış olduğunu kanıtlamıştır. Bu, 3 boyut hariç ve köşegen olmayan çok benzer bir sorundur.

GİRİŞ: ${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

ÇIKIŞ: olup olmadığı öyle ki ve ve $x\in[2]^{n\times n\times n}$ $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

Gardnera ve ark. daha standart NP-komple problemlerden azalmış gibi görünüyor. Bunu açıklamak için azaltmayı ya da yeterince anlamıyorum, bu yüzden keşif için keşif için yukarıdan işaretçileri bırakacağım.

Birisi İKİLİ DİJİTAL TOMOGRAFİ'nin sorulan soruya nasıl indirileceğini bulmadığı sürece, bunların hepsi yararsız olabilir.

— Radu GRIGore
kaynak