Mod_m kapıları neden ilginç?

39

Ryan Williams , sınırsız fan girişi ve geçitleri AND, OR, NOT ve MOD_m ile tüm olası m'ler için sabit derinlik devrelerine sahip olan problem sınıfı olan ACC'ye sınırını koydu.

MOD_m kapılarında bu kadar özel olan ne?

Herhangi bir Z_m halkası üzerinde bir aritmetik simülasyonu sağlar.
Ryan'ın sonucundan önce, MOD_m kapılarını karışıma atmak, bilinen alt sınırların çalışmadığı birinci sınıfa verdi.

MOD_m kapılarını incelemek için başka doğal sebep var mı?

— Dana Moshkovitz
kaynak

39

doğal bir karmaşıklık sınıfıdır. $ACC^0$

1) Barrington olmayan çözülebilir monoidler yakalama üzerinden bu hesaplama göstermiştir ise çözülebilir Monoids fazla yakalama . $NC^1$ $ACC^0$

2) en son, Hansen ve Koucky kanıtlanmıştır düzlemsel dallanma programları genişliği poli-boyutlu sabit bir tam olduğu güzel bir sonuç . Planarity koşulu olmadan, tabii ki biz karakterize Barrington'ın sonuç almak . $ACC^0$ $NC^1$

Yani, ve arasındaki fark , bir yandan grup teorik, diğer yandan ise topolojiktir. $ACC^0$ $NC^1$

Ekleme: Dana çözülebilir bir grubun basit bir örneğidir , elemanları üzerinde simetrik grubudur. Ayrıntılara girmeden, herhangi bir çözülebilir grupta, bölümleri döngüsel olan bir dizi vardır. Bu döngüsel yapı, grup üzerindeki kelime problemlerini çözmek için bir devre oluştururken mod geçitleri olarak yansır. $S_4$

Düzlemsellikte, düzlemselliğin bilgi akışında kısıtlamalar / darboğazlar getirebileceğine inanmak isteriz. Bu her zaman doğru değildir: örneğin, 3SAT düzleminin varyasyonlarının NP tamamlanmış olduğu bilinmektedir. Ancak, daha küçük sınıflarda, bu kısıtlamaların yapması daha olasıdır.

Benzer şekilde, Wigderson izolasyon lemması kullanılarak NL / poly = UL / poli gösterdi. NL = UL elde etmek için izolasyon lemmasını isteğe bağlı DAG'lar üzerinde nasıl yeniden ayarlayacağımızı bilmiyoruz, fakat bunu düzlemsel DAG'lar için nasıl yapacağımızı biliyoruz .

— V Vinay
kaynak

1

Bilgi için çok teşekkürler! Bu sonuçlar için sezgi hakkında daha fazla şey duymak isterim. Soruma göre: Argümanınız temel olarak

[O (log n) derinliği, kapılar AND, VEYA, DEĞİLDİR] doğaldır ve

hafif bir varyasyonudur (çözülemeyen monoidler yerine çözülebilir) veya düzlemsel olmayan dallanma programlarından ziyade düzlemsel olarak). Biraz detaylandırabilir misiniz: hesaplama için ilginç monoidlere örnekler verebilir ve çözülebilirliklerinin önemi nedir? Bir dallanma programının düzlemsel olup olmadığına ilgi duymak için önceden belirlenmiş bir motivasyon var mı?

N C^{1}

$NC^1$

A C C

$ACC$

— Dana Moshkovitz

7

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

@Vinay: NL / poly = UL / poly sonucunun Wigderson'dan kaynaklandığından emin misiniz?

— Dai Le

17

$\bmod m$ $m$ $\bmod p$

Oluşan sabit derinlik devrelerinin sınıfı düşünün sadece bir yaprakları kapıları ve giriş ve sabitler. Daha sonra, OR fonksiyonunun (örneğin) devrenin boyutuna bakılmaksızın bu gibi devrelerle hesaplanamayacağı kolayca anlaşılabilir. (Bunun nedeni, böyle bir devrenin üzerinde düşük dereceli bir polinom hesaplaması ve OR derecesinin ). $\bmod p$ $\mathbb{F}_p$ $n$

Bununla birlikte, en az iki farklı sahip olduğu sadece kapılarından oluşan devreleri göz önüne , OR fonksiyonu için bir derinlik devresi (üstel boyutta) vardır. $\bmod m$ $m$ $2$

Ve Ryan'ın sonucundan önce, sanırım iyi bir alt en küçük sınıf oldu. $AC^0[\bmod 6]$

— Ramprasad
kaynak

1

Son cümlenin için VE, OR, NOT ve geçitlerini kullanarak hesaplamasının sabit derinlikli devrelerle hesaplanmasının bir üstel kapı sayısı gerektirdiği zaten bilinmektedir . (Göreceli olarak asal kompozitlerin bir uzantısı da vardır.) 6, iki farklı en küçük bileşiği olduğundan, , üssel bir alt sınırın bilinmediği "hesaplanması en kolay" fonksiyonudur.

M O D_{q}

$MOD_q$

M O D_{p}

$MOD_p$

p \neq q

$p \ne q$

M O D_{6}

$MOD_6$

— Daniel Apon

14

Sadece iki noktanızı detaylandırmak için:

Hesaplamayı anlama işindeyiz, modüler sayma anlayışımızın sınırlarından biridir. Modüler sayım, hesaplamadaki en basit ve en doğal olaylardan biridir, ancak bunun hakkında çok az şey biliyoruz. Polinom büyüklüğü derinlik 3 sadece Mod6 kapılı olan devrelerin NP'deki her fonksiyonu hesaplayabileceği ihtimalini ekarte edemeyiz. Bununla birlikte, bu tür devrelerin yalnızca büyük destek boyutuna sahip işlevleri hesaplayabildiği ve dolayısıyla AND gibi çok basit bir işlevi hesaplayamadığı varsayılmaktadır. Üst sınır tarafında durum benzer, önemsiz olmayan sonuçlarımız yok.

Bu sorular aynı zamanda tamamen matematiksel bir perspektiften ilginçtir çünkü Z_m üzerindeki polinomlar ve matrisler hakkındaki çok doğal sorularla yakından ilişkilidir. Bir örnek vermek gerekirse, nxn kodiagonal matrisinin Z_6 üzerindeki sırası için alt sınırlarımız yoktur. Bir köşegen matrisi köşegen üzerinde 0'lar ve köşegen üzerinde sıfır olmayanlar içerir.

— aada
kaynak

"Kompozit modüle karşı prime" ile ilgilenenler, Vince Grolmusz ana sayfasını kontrol etmelidir: grolmusz.pitgroup.org

— Stasys