Karmaşıklık ve hesaplama hiyerarşilerine yayılan problemlerin tekdüze hiyerarşisi

Herkes eşit olarak değişen ve karmaşıklık ve hesaplanabilirlik "ilginç" hiyerarşilerinden birini kapsayan bir dizi sorun biliyor mu? İlginç olarak, örneğin, Polinom Hiyerarşisi, Aritmetik Hiyerarşisi veya Analitik Hiyerarşi. Veya belki (N) P, (N) EXP, 2 (N) EXP, $\ldots$

$0, 0', \overline{0'}, 0'', \overline{0''},\ldots$

Öte yandan, Harel, Kozen ve Tiuryn kitabında NP, $\Pi^0_1$ , $\Sigma^0_2$ ve $\Sigma^1_1$ tamamlanmış çeşitli döşeme sorunları var . Sorunlar, indirimleri göstermek için yararlıdır, ancak oturdukları hiyerarşilerin diğer düzeylerini kapsayacak şekilde eşit bir şekilde genelleme yapıp yapmadıkları tamamen açık değildir.

Hiyerarşiye yayılan böylesi somut, muntazam sorunları bilen var mı?

DÜZENLEME: Sadece açıklığa kavuşturmak için, yukarıda verdiğim 3 hiyerarşinin, alternatif niceleyici gücü açısından standart tanımlara sahip olduğunu biliyorum. Aradığım şey bu değil. Farklı bir şey arıyorum, örneğin bir grafikteki bir oyun ya da yatırılmış bir bulmaca gibi.

cc.complexity-theory computability

— Mark Reitblatt
kaynak

Grafik tabanlı problemler (örneğin erişilebilirlik) ve mantık tabanlı problemler (bir devrenin veya birinci dereceden formülün değerlendirilmesi) vardır. ps: belirli sayıda tur veya sınırlı hesaplama gücü olan iki oyuncu arasında bir oyun oynamayı denediniz mi? btw, "tekdüze" ve "somut" kelimeleriyle ne demek istediğinizi açıklığa kavuşturmak yardımcı olabilir.

— Kaveh

Evet, birkaç seviye için varyasyonları tamamlanmış grafik veya devre sorunları var. Fakat bir hiyerarşinin tüm seviyeleri için eksiksiz analoglar bulabilir misiniz? Tekdüze ile, hiyerarşide yukarı çıkmak için bazı parametreleri tek biçimli bir şekilde değiştirdiğinizi kastediyorum. Örneğin, X sayısını bir arttırırsınız; burada X, sorunun bir parametresidir. Somut olarak sadece gayri resmi olarak erişilebilir demek istiyorum. Durma probleminin hiyerarşilerinin özellikle erişilebilir olduğunu düşünmüyorum. Öte yandan, SAT veya QBF gibi bir şey daha somuttur.

— Mark Reitblatt

Kaveh'ün yorumları devam ediyor: Birisi Berman-Hartmanis izomorfizm varsayımının PH'ın (veya her) seviyesinde başarısız olduğunu kanıtlamayı planlamadığı sürece, böyle bir dilin TQBF'ye p-izomorfik olması muhtemeldir. Bu durumda çok ince bir kılık olur, çünkü sadece TQBF'nin yeniden kodlanması olacaktır, yani, farklı bir boole kodlaması kullanarak nicelenmiş öneri formüllerini yazdınız.

— Joshua Grochow

@ Mark: İzomorfizm varsayımı için iyi bir sezgim yok. Orijinal BH makalesi bunun doğru olabileceğini öne sürdü; Joseph ve Young daha sonra tek yönlü işlevlerin yanlış olduğunu gösterebileceğini önerdiler (temel olarak SAT için tek yönlü bir işlev uygulayın, muhtemelen SAT için izomorfik olmayan bir NP-komple set elde edin), ancak Rogers her şeyi gerçekleştiren göreli dünyalar gösterdi dört olasılık yeniden: tek yönlü fonksiyonların varlığı ve izomorfizm varsayımı. Şu an gerçekten fikir birliği var mı bilmiyorum. İşte Rogers gazetesi: dx.doi.org.proxy.uchicago.edu/10.1006/jcss.1997.1486

— Joshua Grochow

(John Rogers'ın makalesi, CC blogundaki tartışmadan yaklaşık 2 yıl sonra gibi görünüyor, ancak ilk ne zaman yayınlandığının aksine, sonucu ne zaman aldığını tam olarak bilmiyorum.)

— Joshua Grochow

[Kaveh'in yorumlardaki anlayışından yola çıkarak.] Birisinin, Berman-Hartmanis izomorfizm varsayımının PH-analogunu çürütmeden, nicelikli boolean formülünden önemli ölçüde farklı bir sorun ailesi ortaya çıkarabileceği görünmüyor. Bu olmadan, karşılaştığınız herhangi bir sorun sadece eşdeğer değil , aynı zamanda izomorfik de olacaktır. Buradaki iki dil arasında izomorfizmi tanımlamanın bir yolu, tek bir soyut dil almaktır, ancak iki farklı boole kodlaması kullanarak nesnelerini (bu durumda niceliklendirilmiş boole formülleri) kodlamaktır. $QBF_k$

Öte yandan, izomorfizm, insanların kanıtlar bulmaları için neyin yararlı olduğuna dair iyi bir yargıç olmak zorunda değildir. Sonuçta, aritmetik hiyerarşide, Myhill'in İzomorfizm Teoremi BH izomorfizm varsayımının aritmetik analoğunu kanıtlar (aslında BH, Myhill tarafından motive edildiğinden beri geriye doğru tarih). Yine de, sorunun işaret ettiği gibi, bazıları kanıtlar için diğerlerinden daha yararlı olan çeşitli düzeylerde "farklı görünen" karakterizasyonlar vardır.

Herkesin her PH seviyesi için tekdüze bir dil ailesi bulması pek mümkün görünmese de , Schaefer ve Umans'ın iki anketi ( bir , iki ) ilk birkaç kez QBF'den "farklı görünen" doğal sorunları tartışıyor PH seviyeleri.

— Joshua Grochow
kaynak

BH güzel bağlantı. :)

— Kaveh