Hesaplamalı karmaşıklıkta Kolmogorov karmaşıklığı uygulamaları

44

Gayri olarak, bir zincir Kolmogorov karmaşıklığı çıktıları bir kısa programı uzunluktadır . Kullanarak 'rastgele dize' kavramını tanımlayabiliriz ( ) eğer rastgeledir . Dizelerin çoğunun rastgele olduğunu görmek kolaydır (çok fazla kısa program yoktur). $x$ $x$ $x$ $K(x) \geq 0.99 |x|$

Kolmogorov karmaşıklığı teorisi ve algoritmik bilgi teorisi günümüzde oldukça gelişmiştir. Kolmogorov karmaşıklığını, ifadelerinde Kolmogorov karmaşıklığı hakkında hiçbir şey içermeyen farklı teoremlerin ispatlarında kullanmanın eğlenceli örnekleri vardır ( yapıcı LLL , Loomis-Whitney eşitsizliği vb.).

Hesaplamalı karmaşıklık ve ilgili alanlarda Kolmogorov karmaşıklığı ve algoritmik bilgi teorisinin hoş uygulamaları var mı? Kolmogorov karmaşıklığını basit sayma argümanlarının basit yerine koymak için kullanan sonuçlar olması gerektiğini düşünüyorum. Bu, elbette, o kadar da ilginç değil.

— ilyaraz
kaynak

2

Sadece ilk başta Kolmogorov karmaşıklığı ile ilgisi yok gibi görünen sorunlara örnekler mi arıyorsunuz? Kolmogorov karmaşıklığı (özellikle de Kolmogorov-rasgele dizeleri kümesi) bağlamında tanımlanan çeşitli kümelerin hesaplama karmaşıklığı ve ayrıca standart karmaşıklık olaylarına (P vs NP gibi) kaynak-bağlı Kolmogorov karmaşıklığı ile ilgili birçok sonuç vardır. , faktoring vb.) Ama sonuncusu aradığınız şey olup olmadığından emin değilim.

— Joshua Grocho,

1

> Sadece ilk başta Kolmogorov karmaşıklığıyla ilgisi yok gibi görünen sorunlara örnekler mi arıyorsunuz? Aynen öyle.

— ilyaraz

16

Lance Fortnow bu konuyla ilgili bir makale yazdı: Kolmogorov Karmaşıklığı ve Hesaplamalı Karmaşıklık

Ayrıca konuyla ilgili kesin kitap olan Li ve Vitanyi tarafından Kolmogorov Karmaşıklığına Giriş ve Uygulamalarını da kontrol etmelisiniz . Özellikle, Bölüm 6 “Sıkıştırılamazlık Yöntemi”, Hastad'ın anahtarlama lemasının bir Kolmogorov karmaşıklık kanıtı gibi karmaşıklığı kanıtlayan bazı uygulamaları ( Fortnow ve Laplante tarafından Kolmogorov Devresi'nden) tartışmaktadır.

Ve iletişim karmaşıklığında uygulamalar var (örneğin , Kaplan ve Laplante tarafından Kolmogorov Karmaşıklığı ve İletişim Karmaşıklığında Kombinatoryal Yöntemler ).

— Ian
kaynak

1

Teşekkür ederim. Bu makale çok güzel ve kullanışlıdır, ancak istediğim ifadelerdeki K karmaşıklığından bahsetmeyen uygulamalar.

— ilyaraz

1

Her ne kadar ilyaraz, çoğu bu yazıda belirtilen sonuçların etkileri ziyade uygulamaları, sen zayıf bir form olarak Kolmogorov karmaşıklığı ile karmaşıklık sınıfları karakterizasyonlarını düşünebilirsiniz "uygulaması."

— Joshua Grocho,

Gönderiyi, aradıklarınızla daha uyumlu olabilecek bazı referanslarla güncelleştirdim.

— Ian

14

Birkaç gün önce Scott Aaronson , Örnekleme ve Aramanın Eşitliğini göstermek için Kolmogorov karmaşıklığına dayalı bir argüman kullandı . Dahası, tartışmasında Kolmogorov karmaşıklığının gerekli bir şekilde kullanıldığını, bunun sayma argümanı için sadece bir kestirme yol olmadığını belirtti.

— Martin Schwarz
kaynak

11

Bu sonuç Alon ve ark. Kolmogorov karmaşıklığı vasıtasıyla elde edilebilir.

"Sonlu her iki taraflı grafiğin E kenar kümesi E altkümelerine ayrılabilir, böylece elde edilen tüm iki taraflı grafikler neredeyse düzenli olur". $\mathrm{poly}(\log |E|)$

— ilyaraz
kaynak

karşı sezgisel görünüyor. bipartit grafikleri ve normal grafikleri ile ilgili diğer sonuçları bilen var mı?

— 21'de

11

Tanıdığım mükemmel bir makale (diğer cevaplarda belirtilen diğer mükemmel makalelere ek olarak):

Juris Hartmanis, Genelleştirilmiş Kolmogorov Karmaşıklığı ve Yapılabilir Hesaplamaların Yapısı , FOCS 1983.

Bu makaleden hatırladığım en önemli şey, P'yi NP'den ayıran bir kahin olan Kolmogorov karmaşıklığına dayalı bir yapıdır.

Akla gelen bir başka makale

Allender ve diğerleri, Random Strings'den Güç , FOCS 2002 (ECCC versiyonu ) ve SICOMP 2006 .

Hatırlarsam, son makale Kolmogorov karmaşıklık argümanlarını kullanarak polinom-zaman Turing bütünlüğünü PSPACE'de log-space çokluk bir bütünlüğünden ayırır. Tabii ki, başka pek çok şey de var, ancak ayrılmanın algoritmik bilgi teorisi dışında bağımsız bir ilgi alanı olan bir uygulama olduğunu hatırlıyorum.

— Dave Doty
kaynak

9

Kolmogorov karmaşıklığını kullanan kuantum alt sınır tekniği de var:

" Aşağı randomize ve kuantum sorgu karmaşıklığı kullanarak Kolmogorov argümanlar sınırları Sophie Laplante Frederic Magniez tarafından"

— Robin Kothari
kaynak

9

(İlk önce, bir jest.) Hesaplamalı karmaşıklıkta zor bir sorunla karşılaşıldığında, ruh halini kaldırmak için her zaman uygulanan Kolmogorov karmaşıklığının neşesi vardır. Bu aynı zamanda kod golf olarak da bilinir . Dizeleri tekabül küçük sorunların bir aralığı için , tek içsel karmaşıklık keşfedebilirsiniz rekabetçi en http://codegolf.com/ ya da sadece az eğlence için http://golf.shinh.org/ 80 farklı ile ( Değişmezlik Teoreminin sabitleri tahmin edilmek istenen ikinci sitedeki diller ). Tüm algılanamayan işlevlerde olduğu gibi, dikkatli yaklaşın. $s$ $K(s)$

(Şimdi ciddi biti için.) Daniil Musatov, son zamanlarda saf derandomlaştırmanın, olasılıksal yöntemle yapıcı olmayan bir şekilde var olduğu gösterilen nesneler için makul yapılar sağlayabileceğini göstermiştir. Bunun gelecekte kaynak kaynaklı Kolmogorov karmaşıklığının hesaplama karmaşıklığına önemli uygulamalar sağlayacağını düşünüyorum.

Daniil Musatov, Muchnik'in Koşullu Karmaşıklık Teoreminin “Sınırsız” Derandomizasyon ile Uzay Sınırlı Sürümünün Geliştirilmesi , KSS 2011, LNCS 6651, 64-76. doi: 10.1007 / 978-3-642-20712-9_6 ( ön baskı )

Ayrıca, bunu gösteren makalelere de bakınız .

(Düzenleme: daha sonra yayınlanan bir sürüme bağlantı verir.)

— András Salamon
kaynak

1

İkinci yazının, bilgisayar destekli karmaşıklığı (yani, Nisan’ın sözderandom üreteci) kaynak bağlı Kolmogorov karmaşıklığına uyguladığını söyleyebilirim.

— ilyaraz

1

@ ilyaraz: Bu doğru bir özetidir. Bağlantıları bir yönde göz önüne alındığında, bu uygulamaların başka şekilde de çalışmasının mümkün olması gerektiğini belirtiyorum.

— András Salamon

8

H. Buhrman, L. Fortnow ve S. Laplante. Kaynaklara bağlı Kolmogorov karmaşıklığı yeniden gözden geçirildi. SIAM Bilişim Dergisi, 31 (3): 887-905, 2002. ( dergi , Lance'in web sayfası ).

Kolmogorov karmaşıklığının uygulamalarını içerir;

Valiant-Vazirani'nin ispatı
Boolean formüllerinin doyurucu ödevleri, zaman boyutunda polinom içinde çıktı boyutunda sayılabilir, eğer benzersiz bir ödev hızlıca bulunursa
BPP'nin Sigma_2 P’de olduğuna dair yeni bir kanıt
Birkaç kehanet yapısı

Yukarıdakilerin bir kısmı ilk olarak bu yazıda kanıtlanmış, diğerleri ise Kolmogorov karmaşıklığını kullanan eski teoremlerin yeni kanıtlarıdır.

Zaman sınırlı Kolmogorov karmaşıklığının karmaşıklık teorisindeki uygulamaları, Eric Allender tarafından diğer uygulamaların güzel bir araştırmasıdır. Buradaki sonuçların birçoğu sonuç olsa da, bazıları aşağıdakiler gibi gerçek uygulamalardır:

Kor 13: Genel bir kehanete göre, P / poly rakiplerine karşı güvenli bir sahte ve jeneratör yok.
Thm 16 [Allender and Gore, 1991]: Tüm NE tahminlerinin üssel zaman içerisinde çözülebildiğine dair bir kehanet var ve E = Union_k \ Sigma_k-TIME (n).

Her iki kanıt da Kolmogorov karmaşıklığını önemli ölçüde kullanıyor.

— Joshua Grochow
kaynak

Orjinal Sipser'in "BPP Sigma_2'de" ispatının Kolmogorov karmaşıklığını kullandığını sanıyorum.

— ilyaraz

6

Bir örnek açıklanan aşağıdaki sonucudur Bogdanov ve Trevisan tarafından anket : Bir dağıtım vardır böyle dil açısından kolay üzerinde ortalamanın olduğunu o kötü durum kolay IFF. $D$ $D$

— ilyaraz
kaynak

Bu arada, anketin bu versiyonunda ispatta bir kusur var. Ancak, bu sabit olabilir :)

— Grigory Yaroslavtsev

Detaylandırmak ister misiniz?

— ilyaraz

Bu arada, bu kanıtı netleştirebileceğim konusunda garip bir hisim var: biri kurtulabilir ve orada herhangi bir alt potansiyel olabilir. Nerede bir hata olduğunu merak ediyorum.

1 / n^{3}

$1/n^3$

— ilyaraz

Evet. Bir hata buldum ama sezgisel bir kanıtım olduğunu hissediyorum (yine de ).

1 / n^{1 + ϵ}

$1/n^{1 + \epsilon}$

— ilyaraz

5

Minimum Açıklama Uzunluk, bilgi teorik öğrenme ve çıkarım teorisinde Kolmogorov karmaşıklığını (veya kararsızlığa bağlı olarak bunların genellemelerini ve genellemelerini) kullanır. Spesifik olarak, MDL, doğal olarak fazla uydurmayı önleyen verilerin açıklamalarını bulmak için kullanılır.

Jorma Rissanen, kavramına güzel bir giriş yapmıştır: http://www.mdl-research.org/jorma.rissanen/pub/Intro.pdf

— Ross Snider
kaynak

3

Böyle bir şey mi demek istiyorsun ilyaraz?

http://arxiv.org/abs/1004.3993

— Aaron Sterling
kaynak

Evet, cesaret verici görünüyor.

— ilyaraz