Boson Örnekleme kağıdı, karmaşık matrislerin kolay sınıflarını nasıl önler?

Gelen lineer optik hesaplama karmaşıklığı ( ECCC TR10-170 ), Scott Aaronson ve Alex Arkhipov kuantum bilgisayarları verimli klasik bilgisayarlar tarafından simüle edilebilir o zaman polinom hiyerarşi üçüncü düzeyine çöker savunuyorlar. Motive edici sorun, doğrusal-optik ağ tarafından tanımlanan bir dağıtımdan örnekleme; Bu dağılım, belirli bir matrisin kalıntısı olarak ifade edilebilir. Klasik durumda, matrisin tüm girdileri negatif değildir ve bu nedenle Mark Jerrum, Alistair Sinclair ve Eric Vigoda (JACM 2004, doi: 10.1145 / 1008731.1008738 tarafından gösterildiği gibi) olasılıksal bir polinom-zaman algoritması vardır.). Kuantum durumunda, girişler karmaşık sayılardır. Genel durumda (girişlerin negatif olmasının gerekli olmadığı durumlarda) kalıcıın, Valiant'ın klasik 1979 sonucuyla sabit bir faktör dahilinde bile tahmin edilemediğini unutmayın.

, bir matrisi ile tanımlanan dağılımını ve örnekleme problemini tanımlar.$D_A$$A$

BosonSampling
Girdi: matris Örnek: dağıtımdanD $A$
$D_A$

Bir sertlik sonucunun kullanılması, klasik ve kuantum dünyaları arasındaki ayrılmanın zayıf bir kanıtı gibi görünmektedir, çünkü belirli kuantum düzeneğindeki matris sınıfının tümünün özel formda olması mümkündür. Karmaşık girişleri olabilir, ancak yine de çok fazla yapıya sahip olabilirler. Bu nedenle, genel problem # P-zor olmasına rağmen, bu tür matrisler için etkili bir örnekleme prosedürü olabilir.

BosonSampling'in makalede kullanımı kolay sınıfları nasıl önler?

Kağıt, kuantum karmaşıklığında olmayan çok fazla arka plan kullanıyor. Bu sitedeki tüm kuantum insanları göz önüne alındığında, doğru yönde bir işaretçi gerçekten takdir ediyorum. Belirli bir deney düzeneğinde görülen karmaşık değerli matris sınıfının aslında örneklemesi kolay bir dağılım sınıfına karşılık geldiğini keşfetmek olsaydı argümanlar nasıl geçerli olurdu? Yoksa kuantum sisteminde bunun gerçekleşmeyeceğini garanti eden doğal bir şey var mı?

Sorunuz için teşekkürler! Tam veya yaklaşık BosonSampling'in sertlik sonuçlarıyla ilgilenip ilgilenmediğinize bağlı olarak iki cevap vardır .

Tam olarak, herhangi bir n-by-karmaşık matris A verildiğinde, | Per (A) | ile orantılı olasılıkla belirli bir çıktı üreten optik bir deney yapabileceğinizi kanıtlıyoruz. ² . Bu da, P ^#P = BPP ^NP olmadığı sürece hiçbir klasik polinom-zaman algoritmasının, optik deney ile tam olarak aynı dağılımdan (giriş olarak bir deneyin açıklaması) ^{örnekleme yapamayacağı anlamına gelir} . Aslında, bu güçlendirebilir verecek şekilde tek bir dağıtım D _{, n} , poli (n) boyutlu bir optik deney kullanılarak örneklenen edilebilir (sadece giriş uzunluğu bağlı olarak n), ancak poli klasik olarak örneklenmiş edilemez (n ) P ^# P = BPP ^NP olmadığı sürece .

Yaklaşık durumda, durum daha karmaşıktır. Ana sonucumuz, optik deneyi yaklaşık olarak bile simüle eden klasik bir polinom-zaman algoritması varsa ( yaklaşık olarak 1 / poly (n)-varyasyon mesafesine yakın olan çıkışlar üzerindeki olasılık dağılımından örnekleme anlamında), daha sonra BPP’de olduğunu söylüyor. ^NP , yaklaşık olarak bulabilirsiniz | ^{Şekil 2} , ortalama 0 ve varyans 1 olan iid Gaussian'ların n-n-matrisi A üzerinde yüksek olasılıkla.

Biz varsayım (çok az değil, BPP en yukarıdaki sorunun # P-zor olduğunu ^NP ) ve 57-82 sayfaları bizim kağıt varsayımına kanıt ilgili.

Tabii ki, belki de varsayımımız yanlıştır ve kişi aslında kimliği olan Gauss matrislerinin kalıcılarına yaklaşmak için çoklu zaman algoritması verebilir. Bu olağanüstü bir sonuç olurdu! Bununla birlikte, yaptığımız işin% 85'i, her şeyi mümkün olduğunca temiz, basit ve "kuantum içermeyen" bir sertlik varsayımına dayandırmaktı. Başka bir deyişle, varsayım yerine

"Deneyimizde ortaya çıkan bazı tuhaf, özel matrislerin kalıcılarına yaklaşmak # P-hard,"

varsayımı yapmanın yeterli olduğunu gösteriyoruz

"kült Gauss matrislerinin kalıcılarına yaklaşmak # P-hard."