Topolojinin bilgisayar bilimine uygulamaları

Bilgisayar Bilimi alanındaki Topoloji uygulamaları hakkında bir anket yazmak istiyorum. Bilgisayar Bilimleri alanındaki topolojik fikirlerin tarihçesini ele almayı ve bazı güncel gelişmeleri vurgulamayı düşünüyorum. Aşağıdaki sorulardan herhangi biri hakkında bilgi verebilecek olmanız son derece yardımcı olacaktır.

1. Bilgisayar Bilimlerinde topoloji kullanımının kronolojisini tanımlayan herhangi bir makale veya not var mı?

2. Topolojideki sonuçların Bilgisayar Bilimine en önemli uygulaması nedir?

3. Hesaplamaya içgörü kazandırmak için topolojiyi kullanan mevcut çalışmaların en ilginç alanları nelerdir?

Teşekkürler!

Şahsen, topolojinin en ilginç uygulamasının Herlihy ve Shavit tarafından yapılan çalışma olduğunu düşünüyorum. Eşzamansız dağıtılmış hesaplamayı karakterize etmek için cebirsel topoloji kullandılar ve bilinen önemli sonuçların yeni kanıtlarını verdiler ve uzun süredir açık olan birçok sorunu çözdüler. Bu iş için 2004 Godel ödülünü kazandılar.

"Asenkron Hesaplamanın Topolojik Yapısı" Maurice Herlihy ve Nir Shavit, ACM Dergisi, Vol. 46 (1999), 858-923,

Topoloji, geometrik, cebirsel, metrik, nokta kümesi ve (kendinden yoksun) anlamsız topoloji dahil olmak üzere çeşitli alt alanlara sahip olgun bir disiplindir. Bilgisayar bilimi de oldukça geniştir ve birçok matematiksel alt alana sahiptir, bu yüzden CS'de topolojik fikirlerin birçok uygulamasını beklerdim. Marshall Stone "her zaman topologla" demişti ve zorunlu altyapıya sahip bilgisayar bilimcilerinin çoğu zaman var. Yeter filan. Birkaç örnek

Bu örnekler sadece topoloji tarafından çözülmüş zor CS problemleri değildir. Bazen topolojik bir fikir, bir CS ortamına çok iyi aktarılır veya bir CS alt alanı için temel oluşturur.

1. Önerme mantığının kompaktlık teoremi, Tychonoff teoreminin bir sonucudur. Birinci dereceden mantık için kompaktlık genellikle farklı şekilde ispatlanmıştır. Kompaktlık klasik model teorisinde önemli bir araçtır.

2. Stone'un Boole cebirleri için temsil teoremi, önermeli mantık, Boole cebirleri ve belirli topolojik uzay modelleri ile ilgilidir. Taş tipi dualite sonuçları cebirsel mantık ve programlama dili anlambiliminde kullanılan yapılar için türetilmiştir.

3. Nick Pippenger, Stone teoremini normal dillerin Boolean cebirine uyguladı ve normal diller hakkında birkaç gerçek kanıtlamak için topoloji kullandı. Dil teorisindeki topoloji üzerine daha yeni çalışmalar için Jean-Eric Pin'in yorumuna bakınız.

4. Resmi yöntemlerde güvenlik ve canlılık mülkiyeti kavramları vardır. Her doğrusal zaman özelliği, bir güvenlik ve canlılık özelliğinin kesişimi olarak ifade edilebilir. Kanıt, temel topolojiyi kullanır.

5. Martín Escardó, sonsuz kümeleri aramak için algoritmalar ve programlar yazdı. Kompaktlığın bu çalışmanın önemli bir bileşeni olduğuna inanıyorum.

6. Polonyalı topologların (Kuratowski gibi) çalışmaları bize kapatma operatörlerini verdi. Kafeslerdeki kapatma operatörleri, statik program analizinin temelini oluşturan soyut yorum teorisinin önemli bir parçasıdır.

7. Kapatma operatörleri ve diğer topolojik fikirler matematiksel morfolojinin temelidir.

8. Polonyalı okuldan iç operatörlerin nosyonu modal mantıkların aksiyomlaştırılmasında önemlidir.

9. Birçok bilgisayar bilimi, grafik tabanlı yapılara dayanmaktadır. Bazı uygulamalar, grafikler tarafından sağlanandan daha zengin bir bağlantı ve akış kavramı gerektirir ve topoloji, bir sonraki doğal adımdır. Bu eşzamanlılık teorisindeki van Glabbeek'in yüksek boyutlu otomatlarını okumam ve Eric Goubault'un eşzamanlı programların anlamlarına geometrik topoloji uygulamaları.

10. Muhtemelen en fazla baskı alan uygulama, dağıtılmış hesaplamada belirli hata toleransı senaryolarını karakterize etmek için topolojinin uygulanmasıdır (başlangıçta cebirsel, daha fazla kombinasyonlu sunum da mevcuttur). Yukarıda belirtilen Herlihy ve Shavit’e ek olarak, Borowsky ve Gafni ve Saks ve Zaharouglou da bu ilk atılım için haber verdi. Eşzamansız hesaplanabilirlik çerçevesi bu tür sonuçlara yol açtı.

11. Brouwer'ın sabit nokta teoremi, çalıştığımız birkaç soruna yol açtı. Son zamanlarda algoritmik oyun teorisi, PPAD karmaşıklık sınıfı ve sabit nokta problemlerinin karmaşıklık sınıfı.

12. Borsuk-Ulam teoreminin grafikler ve metrik gömme işlemleri için çeşitli uygulamaları vardır. Bunlar Jiří Matoušek'in kitabında ele alınmıştır.

Bunlar orada olan şeylerde yetersiz sonuçlar . İyi şanslar!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-calculus. Anlambilim, temel olarak, sıralama tarafından verilen yaklaşım kavramına ve denklemlerin en az sabit nokta çözümüne dayanır ve çözümlerin genellikle var olacağı garanti edilir.

Terimsel anlambilimden sapma, soyut yorumlama ve program analizi ve doğrulaması ile bağlantılardır.

Mevcut araştırma, eşzamanlılık ve kuantum dilleri için terimbilimsel anlambilim sağlamayı içerir.

Etki alanı teorisi : Abramsky ve Jung temel fikirlerin güzel bir incelemesini sunar .

Bağlanan bileşenlerin sayısı ve daha genel olarak Betti sayıları, yarı cebirsel çeşitler ve hiper düzlem düzenlemeleri (ve tamamlayıcıları), cebirsel hesaplama ve karar ağaçları üzerinde birkaç alt sınır için kullanılmıştır. Sadece birkaç büyük referans için, bakınız:

Michael Ben-Or, Cebirsel hesaplama ağaçları için alt sınırlar, STOC 1983, s. 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, Karar ağacı karmaşıklığı ve Betti sayıları, J. Comput. Sistem Bilimi 55 (1997), no. 1, bölüm 1, 36-43 (STOC 1994).

Anders Bjorner ve Laszlo Lovasz, Doğrusal karar ağaçları, alt uzay düzenlemeleri ve Mobius fonksiyonları, J. Amer. Matematik. Soc. 7 (1994), no. 3, 677-706.

Farklı ama biraz ilişkili bir damarda Smale, Blum-Shub-Smale modelinde kök bulma karmaşıklığını azaltmak için topolojiyi oldukça ilginç bir şekilde (özellikle örgü grubunun kohomolojisi) kullandı:

Smale, S. Algoritmaların topolojisi üzerine, IJ Complexity, 3 (2): 81-89, 1987.

$2^{\omega}$

Bu Dave'in cevabı ve alan teorisi ile ilgilidir. Buradaki temel argüman, hesaplanabilirliğin doğal olarak yerel operasyonlara ve sonlu gözlemlere dayandığıdır . Hesaplanabilirliği, topolojinin rafine edilmiş bir düşüncesi olarak düşünebilirsiniz. En açık örnek şudur:

Tüm (oracle Turing) hesaplanabilir işlevleri süreklidir. Öte yandan, her sürekli işlev oracle Turing uygun bir oracle ile hesaplanabilir.

Daha fazla bilgi için Klaus Weihrauch'un "Computable Analysis" kitabını bulabilirsiniz. Ayrıca Steven Vickers'ın "Topoloji Üzerinden Mantık Üzerine" adlı güzel kitabına da göz atmak isteyebilirsiniz.

Anketinizle alakalı olabilecek iki bildiri daha ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Tanımada topolojik bir yaklaşım, ICALP 2010, II. Bölüm, Bilgisayar Bilimleri Ders Notları 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Dualite ve normal dil denklem teorisi, ICALP 2008 En İyi Makale Ödülü, Track B, ICALP 2008, II. Bölüm, Bilgisayar Bilimleri Ders Notları 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.

Kneser düşüncesini ve Aandera-Rosenberg-Karp düşüncesine ilişkin Kahn / Saks / Sturtevant ispatını unutma.

Daha önce Illinois’de, ancak şimdi U Penn’de Robert Ghrist’in çalışmalarını daha önce görmemiştim . İşte güzel bir röportaj.

Ayrıca Gunnar Carlsson ve arkadaşlarının topolojiyi veri analizine uygulama konusundaki çalışmaları ile de ilgilidir .

Belki de STOC / FOCS TCS değil, kesinlikle bilgisayar bilimidir.

Eşzamanlılığı anlama ve eşzamanlı hesaplamaları modelleme teorileri en iyi topolojik olarak anlaşılır. Apart Eric goubault üzerinde çalışma yapmıştır önceki bir cevaplayan belirtilen zaman uyumsuz hesaplanabilirlilik topolojik yapısına Herlihy ve Shavit ünlü işten geometrisi ile Modelleme eşzamanlılık ve uygulamaları üzerine Pratt çalışmalarının Chu boşluklar Stanford eşzamanlılık grubunda eşzamanlılık için de ilginçtir Yine de işlerine aşina olmam.

Tüm işler Kitaev tarafından hataya dayanıklı bir kuantum bilgisayarına topolojik yaklaşım konusunda başladı. Bkz Kitaev orijinal kağıt , örneğin, John Preskill en ya ders notlarını .

Henüz hiç kimse eşzamanlılık çalışması için uygun bir cebirsel topolojik araç kutusu sağlamak üzere geliştirilen yönlendirilmiş cebirsel topolojiden söz etmedi .

Hesaplama teorisindeki konulara, oldukça yeni olan birkaç düşük boyutlu topolojik yaklaşım da var:

• Örgü teorisine dayanan, hataya dayanıklı anyonik kuantum hesaplamasına çeşitli yaklaşımlar. Bakınız BURAYA ve BURAYA . Ayrıca BURADA adyabatik kuantum hesaplama ağlarına .
• Lamda matematiği (örneğin HERE , sayfa 46-48 ve HERE ) ve Milner pi matematiği ( HERE ) için şematik topoloji tabanlı formaliteler .
• Özyinelemeyi ve Markov zincirlerini modellemek için renkli karışmaların birleştirilmesi. Bakınız BURAYA ve BURAYA . Aslında, herhangi bir Turing makinesi hesaplamasının ve herhangi bir tekrarlayan birinci dereceden sinir ağının bu şekilde modellenebileceği kanıtlanmıştır (yayınlanmamış).
• Topolojik diyagramların hesaplamaları temsil ettiği kuantum hesaplama için daha yüksek bir kategoride teorik formalizm vardır ve topolojik olarak eşdeğer diyagramlar aynı hesaplama içeriğine sahip farklı prosedürleri temsil eder. BURAYA bakın .

Metrik gömme işlemlerinde bazı uygulamalar.

Bu kitabı Matousek tarafından kontrol edin: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Ayrıca şu makalelere de göz atın:

• Bi-Lipschitz düşük boyutlu Öklid uzaylarına gömülüyor, J. Matousek (1990) (Kampan teoremini daha düşük bir sınır kanıtlamak için kullanıyor)
• R ^ d, J. Matousek ve A. Sidiropoulos'a Metrik Gömmelerin Yaklaşılmazlığı

bu kitabı oku:

Arşivlenmiş web sayfasına bakın

Bu kitabı inceleyin, Hesaplamalı Karmaşıklık: Kantitatif Bir Bakış Açısı, kaynağa bağlı topolojik araçları kullanarak bazı karmaşıklık sınıflarının boyutunu inceler.

$P$$NP$$P \ne NP$$NP-P$$NP$$NP-P$