Doğrusal uzatma grafikleri için derece setleri

Bir doğrusal uzama bir poşet içinde elemanları üzerinde bir lineer sırasıdır , bu şekilde de eder içinde tüm . $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

Bir doğrusal uzama grafiğidir iki doğrusal uzantıları bitişik bir poşet, doğrusal uzantı kümesinin bir grafiktir tam olarak di ff halinde er elemanlarının bir bitişik takas.

Aşağıdaki resimde poseti olarak bilinen poz ve doğrusal uzatma grafiği vardır; burada . $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

alternatif metin (Bu rakam işten alınmıştır .)

Eğer (LEG) doğrusal uzantısı grafikleri incelemek Ne zaman bir fikre (varsayım) ile gelebilir ki eğer - Bir AyakEngel maksimum derecede, - respecrively minimal derecede, daha sonra herhangi bir BACAK derecesi seti oluşur ve aralarındaki her doğal sayı. Örneğin, chevron olarak bilinen bir poset alalım, sonra LEG içinde ve ve ayrıca bizim düşüncemize göre, 4 ve 3 dereceli köşeler grafikte yer almaktadır. Soru şu; bu varsayımı kanıtlayabilir veya çürütebilir miyiz? $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

Bacaklar ve nasıl bir Mareike MASSOW ait tezinde okuyabilir gibi görünüyorlar Hakkında burada . Chevron ve LEG tezin 23. sayfasında görülebilir.

Derecesi setlerinde klasik kağıt "var grafikler için Derecesi setleri Kapoor SF ve arkadaşları tarafından".

graph-theory co.combinatorics

— Oleksandr Bondarenko
kaynak

doğrusal uzatma grafiği nedir? yani tanımı biraz daha kendi kendine yetecek şekilde soruya katlayabilir misiniz?

— Suresh Venkat

Bu varsayım sevimli. Tahmin için herhangi bir motivasyon veya bilinen uygulama var mı? (Başka varsayımlara indirgeme söyleyin.)

— Hsien-Chih Chang 張顯之 15:10

@ Hsien-Chih Chang Bu varsayımın motivasyonu, kanıtladığımız zaman, verilen bir doğrusal uzatma grafiğinin maksimum ve minimum derecelerini bilerek ayarlanan derecenin içeriğini bileceğiz.

— Oleksandr Bondarenko

Sanırım dün bunu kanıtladım. İşte ispatın taslağı burada. İlk başta aşağıdaki lemma kanıtlanmıştır.

Lemma . Let kısmi düzeni, - - çizgisel uzantısı grafiği ve - iki bitişik köşe . Sonra . $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

İspat taslağı.

Aynı zamanda, doğrusal uzantıları vardır bunlardan bir tanesi, bu şekilde , transforme edilebilir bitişik elemanları (bitişik transpozisyon) bir transpozisyon ile. (Örneğin, için, dikkate görmek kolaydır ve , herhangi bir öğe bu yukarıdaki şekilden) herhangi bir doğrusal uzantısı , en fazla iki üzerine eşsiz bitişik elemanların sayısı değiştirebilir: $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

Eğer sonra tüm noktalarda en az bir komşusuna aktarılmış olabilir, demek , kendisine kıyaslanamaz ( , eğer karşılaştırılabilir sonra ). Not: aktarmadan önce ve hemen sonra - $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ . $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
deki eşitsizliklerin sayısının ( deki tepe noktası olarak doğrusal uzama derecesi ) nasıl değişebileceğini ele alalım . İlk önce çiftini düşünüyoruz . İçin aynı sonuca simetri izler. $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

Eğer , daha sonra değiştirmez. Eğer , daha sonra $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ increases (decreases) by one.The sketch of the proof is completed.

Theorem. Let $G(\mathcal{P})$ - a linear extension graph. If $G(\mathcal{P})$ contains vertices $v_1,v_2$ with $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ , then there is $v_3\in G(\mathcal{P})$ such that $deg(v_3)=k+1$ .

The sketch of the proof.

Suppose $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ are adjacent in $G(\mathcal{P})$ , otherwise any vertex with degree $k$ in $G(\mathcal{P})$ is adjacent with some vertex if such exists with degree $k+1$ .

Let us consider the case where we have $L_1,L_2$ from the previous lemma such that

x_{i + 1} ⊥ x_{i + 2} \land x_{i} ∥ x_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$ and

x_{i - 1} ⊥ x_{i} \land x_{i - 1} ∥ x_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

Thus $deg(L_2)=deg(L_1)+2$ .

Let us now start transpose $x_{i+1}$ in the direction of $x_1$ . It is easy to see that eventually we could stop at the position where

x_{j} ⊥ x_{i + 1} \land x_{i + 1} ∥ x_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$ for some

j < i - 1

$j<i-1$ . The sketch of the proof is completed.

— Oleksandr Bondarenko
kaynak

In the proof of the theorem, I don't follow the first sentence. Regarding notation, I've usually seen

x \sim y

$x \sim y$ used to denote that

x

$x$ and

y

$y$ are comparable.

— András Salamon

@András Salamon I added some clarification (degrees of

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$ ) to the first sentence of the theorem proof.

— Oleksandr Bondarenko

@András Salamon

x ⊥ y

$x\perp y$ is used in the same manner, e.g., here: smartech.gatech.edu/bitstream/1853/33810/1/…

— Oleksandr Bondarenko