Sonlu “engelli” Vektör Toplama Sistemleri

Bir Vektör Toplama Sistemi (VAS), sınırlı bir eylem . işaretler kümesidir . Bir çalıştırma boş olmayan bir kelime st . Böyle bir kelime varsa biz demek olduğunu ulaşılabilir gelen .$A \subset \mathbb{Z}^d$m 0 m 1 … m n ∀ i ∈ { 0 , … , n - 1 } , m i + 1 - m i ∈ A m n m $\mathbb{N}^d$$m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

VAS'lar için erişilebilirlik sorununun karar verilebilir olduğu bilinmektedir (ancak karmaşıklığı açık bir sorundur).

Şimdi sonlu bir dizi yasak işaretinin ( engeller ) verildiğini varsayalım . Okunabilirlik sorununun hala karar verilebilir olup olmadığını bilmek istiyorum.

Sezgisel olarak, sonlu engeller kümesi sadece yerel yollara müdahale etmelidir, bu yüzden problem karar verilebilir olmalıdır. Ancak bunu kanıtlamak önemsiz görünmüyor.

DÜZENLE . @ Jérôme'in cevabını kabul edilen cevap olarak tutacağım, ancak bir takip sorusu eklemek istiyorum: işaretler kümesi ?$\mathbb{Z}^d$

Fikir, bu öğleden sonra Grégoire Sutre ile yaptığım bir tartışmaya dayanıyor.

Sorun şu şekilde kararlaştırılabilir.

Petri net , de geçiş adı verilen sonlu bir çiftler kümesidir . Bir geçiş verilen , biz ile ifade yapılandırmalarınızın setinde tanımlanan ikili ilişki ile de ve olacak şekilde bir vektör varsa . Biz tarafından ifade bir adım erişilebilirlik göre . Bu ilişkinin dönüşlü ve geçişli kapanışı şu şekilde gösterilir:N d × N d t = ( → u , → v ) t → N d → x t → → y → z ∈ N d → x = → u + → z → y = → v + → z T → ⋃ t ∈ T t → T ∗$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$ .

Let üzerinde klasik componentwise kısmi sıralama olduğu ile ve belirli mevcutsa , örneğin bu . Bir dizi yukarı kapatma arasında dizi vektörlerin . Bir dizi aşağı doğru kapama olduğu grubu vektörlerin .N d → u ≤ → x → z ∈ N d → X = → u + → z → X , N d ↑ → x { → v ∈ N d | ∃ → x ∈ → x$\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$ → X ↓ → X { → v ∈Nd∣∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Uyarı eğer sonlu bir resim için ve ve eğer bir Petri net olduğu için, yeni bir Petri net hesaplaması , her yapılandırma için ve eğer ve sadece . Aslında, bir her , burada içinde vektördür→ B NdTT → B → x , → y → x T → → y → x , → y ∈ → U → x T → B → → y t=( → u , → v ) → b ∈ → B t → b =($\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$ → z Nd → z (i)=maks.{ → b (i)- → u (i), → b (i)- → v (i),0}1≤i≤$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$ tanımlanan componentwise her için . Uyarı bu tatmin gereksinimi.$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

Şimdi bir Petri ağı olduğunu varsayalım , engel kümesi. sonlu kümesini . Etkili bir sonlu bir kümesini hesaplayabilir gözlemleyin ve , öyle ki . Let üzerinden tanımlanan ikili bir ilişkinin tarafından ise veya vardır şekilde→ O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → x = → y → x ′ , → y ′ ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$.

İlk yapılandırma ile ilgili bir çalışma mevcutsa Şimdi, gözlemleyin nihai bir ila engel önlemek , daha sonra engel önlemek bir vardır ve bu ' daki konfigürasyonlarla en fazla bu kümenin en önemli özelliğinden geçer. Dolayısıyla, sorun olmayan deterministik farklı konfigürasyonları seçebileceklerdir azaltır içinde düzeltme olarak ilk yapılandırma , son yapılandırma olarak ve→ $\vec{x}$$\vec{y}$→ O → D ∖ → O → c 1,…, → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$Her için . Bu son problem Petri ağları için klasik erişilebilirlik sorularına indirgenmektedir.$j$

VAS'a eşdeğer olan ve bu çözümü ortaya çıkaran durumlara sahip vektör ekleme sistemleri (VASS) için sorunuzu düşünüyorum. Şimdi, Jérôme'in güzel cevabını okudum ve cevabımın çok benzer olduğunu söylemeliyim , bu yüzden lütfen benimkini doğru görseniz bile cevabını kabul edin.

Fikir: Bir VASS , engelleri daha küçük veya eşit vektörleri yasaklayan bir VASS ye dönüştürmek mümkündür . Bu tam olarak istediğimiz şey değildir, çünkü daha küçük fakat engellere eşit olmayan vektörlere ulaşılmasına izin verilir. Bununla birlikte, bu tür sonlu birçok vektör vardır. Bu, minimal geçişlerin, geçişi veya eşdeğer geçişi olan sonlu birçok işleme ayrılmasını sağlar . Bu nedenle, evet , sorun karar verilebilir.V ′ V V $V$$V'$$V$$V'$

Ayrıntılar: bir -VASS olsun, yani , sonlu etiketli bir grafiktir . Let engeller olması kümesi. Let ve , biz bilgileri her bir çalıştırmak için her ara madde yapılandırmasıyla . Belirtirizd V T ⊆ Q × Z d × Q O ⊆ N$V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Let minimal run şekilde , yani en az bir deneme, engelleri önler. Daha sonra, güvercin deliği prensibi ile, , sadece sonlu defalarca giren bir çalışma olarak çarpanlara . Daha resmi olarak, , ve öyle ki$\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$.

Bu nedenle, , ve ara yapılandırmaları tahmin etmek yeterlidir . Test olup dönüştürülmesiyle gerçekleştirilebilir yeni içine -VASS , her geçiş bir aygıtı tarafından değiştirilir geçişler. Örneğin, ise geçişler aşağıdaki gibi değiştirilir:$n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$